Interview de Claude Bardos, lauréat 2019 du prix Maxwell de l’ICIAM

Pouvez-vous nous parler de vos travaux ?

Mes activités de recherche portent sur les applications de la théorie des équations aux dérivées partielles. Je peux l’illustrer par des exemples :

Une idée physique naturelle est que la lumière est à la fois un ensemble de rayons et un ensemble d’ondes. Par contre, la mise en forme mathématique avec des estimations qualitatives est un sujet qui a occupé plusieurs générations de mathématiciens avec en particulier les contributions d’Hadamard et de Hörmander (qui a donné au sujet le nom d’analyse microlocale). Comme on observe également dans l’oscillation de grandes structures (par exemple des antennes de satellites) la propagation d’ondes, nous avons, Gilles Lebeau, Jeff Rauch et moi-même, avec la méthodologie issue de l’analyse microlocale, déterminé les conditions idéales sur la manière de placer des instruments pour stabiliser ces structures. Il s’agissait d’un problème posé par J.L. Lions à l’époque où il était président du CNES.

Décrire la physique à partir de l’évolution d’un système de particules (atomes ou molécules) a été une idée essentielle de la fin du 19e siècle marquée en particulier par les contributions de Maxwell et de Boltzmann. Cela a conduit Hilbert à poser au Congrès International des Mathématiciens de Paris en 1900, entre autres, le 6e problème : déduire les lois de la mécanique des fluides telle qu’on l’observe au niveau macroscopique des idées de Boltzmann.

Il s’agissait d’un programme très ambitieux : par exemple faire un lien mathématique rigoureux entre la description des molécules et la mécanique des fluides jusqu’à l’apparition de la turbulence. Ce sujet a acquis encore plus d’importance au siècle dernier lorsqu’on a remarqué que de nombreux problèmes appliqués faisaient intervenir des milieux trop raréfiés pour que les modèles macroscopiques suffisent à les décrire (c’est par exemple le cas de la réentrée dans l’atmosphère de véhicules spatiaux, le passage du courant dans des dispositifs trop petits pour que la répartition des électrons puisse admettre un état d’équilibre et bien d’autres cas), et entre autre que l’usage de l’équation de Boltzmann pouvait alors s’imposer.

Dans ce cadre j’ai eu la chance de travailler avec François Golse et Dave Levermore sur une petite partie du programme de Hilbert : celle consistant à faire le lien dans le cadre dit incompressible entre les solutions proposées par Jean Leray pour les équations de Navier-Stokes et celles introduites par R. Di Perna et PL Lions. Ma contribution a été préliminaire et il faut souligner que les résultats définitifs ont été obtenus par François Golse en collaboration avec Laure Saint-Raymond.

L’intérêt pour ces relations entre la théorie cinétique et la physique macroscopique m’a aussi conduit à plusieurs développements sur l’étude des couches limites au voisinage d’un corps solide en milieu dense ou continu et sur l’influence de ces couches dans l’apparition de la turbulence.

Pouvez-vous nous parler de mathématiciens ou de mathématiciennes qui ont influencé vos travaux, ou que vous admirez particulièrement ?

J’ai eu comme directeur de thèse J.L. Lions (lui-même élève de Laurent Schwartz) et sans aucun doute responsable de la création d’une nouvelle génération de mathématiciens appliqués et en particuliers de chercheurs en équations aux dérivées partielles mais j’ai aussi envie d’évoquer d’une part ceux qui m’ont influencé dès le début de ma carrière, Peter Lax, Martin Zerner, Uriel Frisch et Roger Godement, et d’autre part ceux avec qui je continue à travailler actuellement, François Golse, Edriss Titi et László Székelyhidi et toujours Uriel Frisch.

Pour moi il y a des points communs entre ces différents chercheurs. Tous ont à leur actif d’importantes contributions. Ils ont été capables d’utiliser des outils mathématiques fins pour répondre à des problèmes appliqués et, dans certains cas, de s’inspirer du monde appliqué pour enrichir les mathématiques dites pures. La largeur de leur spectre scientifique s’accompagne d’intérêts très variés en mathématiques, dans certains cas d’engagements politiques et par ailleurs d’amitiés nombreuses. En particulier, ils ont fait preuve à mon égard de générosité et de patience dans la collaboration scientifique.

A titre d’exemple, en plus de travaux fondamentaux sur les systèmes hyperboliques et sur les ondes de surface (équations de KDV), Peter Lax a adapté à l’interaction entre des ondes et des obstacles la théorie du « scattering » issue de la mécanique quantique et ce faisant a formalisé dans ce cadre l’hypothèse de Riemann.

Martin Zerner a été un des premiers à prouver la propagation des singularités des solutions de l’équation ondes le long des rayons de l’optique géométrique ; Hörmander le cite comme précurseur. Ensuite, avec la notion d’epsilon entropie il a donné un cadre général à la recherche de la taille d’une approximation en fonction de l’erreur. C’est d’ailleurs lui qui le premier a suscité mon intérêt pour les équations aux dérivées partielles.

Roger Godement m’avait beaucoup impressionné, comme enseignant (j’ai eu la chance de travailler avec lui comme moniteur) et par la force de ses convictions. Pour illustrer sa grande culture et les échanges entre mathématiques pures et appliquées, on peut noter que c’est à lui et à Gelfand que l’on doit l’introduction de l’analyse, en particulier la généralisation à la théorie de groupes (en vue de mathématiques très pures) de l’analyse de Fourier qui est un élément de base des mathématiques appliquées.

J’ai appris beaucoup de mathématiques avec Uriel Frisch (qui pourtant s’intitule physicien, astronome !) et il m’a initié à la théorie de la turbulence selon Kolmogorov.

Je continue à collaborer avec lui comme avec François Golse dont j’ai évoqué le rôle essentiel dans l’étude de la limite dite « incompressible » de l’équation Boltzmann. Maintenant, et cela depuis une dizaine d’années, l’essentiel de mon travail sur les équations d’Euler ou de Navier-Stokes se fait en collaboration avec Edriss Titi. Titi fait partie aussi des scientifiques qui savent marier théorie et applications. Il est l’auteur de travaux sur les équations quasi géostrophique et sur plusieurs autres aspects de la modélisation du climat.

Avec Edriss Titi nous nous attachons à dégager les conclusions (éventuellement pratiques) qui peuvent être déduites des travaux de Camillo De Lellis et László Székelyhidi. Ces deux chercheurs ont introduit dans les équations de la mécanique des fluides des idées qui viennent de l’intégration convexe et de la théorie de la rigidité. Le problème remonte à Gauss. On observe que l’on ne peut pas transporter un cercle de rayon 1 dans un disque de rayon plus petit sans modifier sa courbure donc à l’aide d’une application f qui préserve la courbure (ce qui est le cas pour des applications de classe C2), donc le problème (qui a obtenu à la fin du siècle dernier une série de réponses) est de déterminer la régularité maximum pour f permettant une telle inclusion. Ce que De Lellis et Székelyhidi ont remarqué, c’est que les méthodes de démonstration pouvaient se transposer au problème de la régularité minimum que doit avoir une solution faible de l’équation d’Euler pour qu’elle ne conserve pas l’énergie, et donc à la dissipation anormale d’énergie, phénomène lié à la turbulence qui a été l’objet d’observations préliminaires mais super pertinentes d’Onsager. Il a proposé le nombre 1/3. Maintenant le résultat final du programme initié par Camillo De Lellis et László Székelyhidi, puis poursuivi avec plusieurs collaborateurs est que toute solution qui a des dérivées fractionnaires supérieures d’ordre 1/3 ne présente pas de dissipation et qu’il existe des solutions dont la régularité est inférieure à 1/3 mais arbitrairement près de ce nombre qui dissipent de l’énergie.

Bien entendu il n’est pas évident que toutes ces solutions soient physiques. On peut en construire qui décrivent des fluides qui se mettent en mouvement sans aucune action extérieure si celles-ci existaient en-dehors du monde mathématique. Selon l’expression de Villani, cela permettrait de résoudre la crise de l’énergie. Par contre l’existence de ce type de monstre (dans le monde mathématique) est un outil essentiel pour répondre à la question de savoir si et comment les équations utilisées décrivent le monde extérieur et c’est l’objet de mes contributions actuelles avec Edriss Titi.

Qu’est-ce qu’être mathématicien pour vous ?

Ce qui m’a fasciné dans les mathématiques c’est la largeur du sujet. Pour moi, faire des mathématiques, c’est faire progresser un domaine qui a des applications d’abord en interne en lui-même et ensuite dans toutes les activités humaines.
Et j’ai l’impression que l’ambition mathématique retentit sur le comportement de la communauté des chercheurs. J’ai trouvé dans cette communauté des gens passionnants à spectre large et capables de chaleur humaine. Ce que j’ai cherché à faire et que je continue à chercher à faire c’est de demeurer un membre de cette communauté pour continuer à participer au projet.

Ceci posé, j’ai l’impression de n’avoir jamais été doué pour les maths. Je trouve que les maths c’est dur ; je suis très loin d’avoir la virtuosité de certains de mes collègues.
Je suis persuadé que l’universalité des mathématiques réside pour une part essentielle dans la rectitude du raisonnement et de l’absence de failles dans les preuves. J’ai remarqué que certains collègues adoraient l’aspect ludique de la construction de preuves élégantes et pas fausses. Moi je trouve que c’est avant tout une des contraintes essentielles mais aussi difficiles de notre activité.

Les mathématiques, même lorsqu’on les qualifie d’appliquées, sont une science fondamentale. Que cela signifie-t-il pour vous ?

Je suggère d’élargir un peu cette question en disant que les mathématiques sont plusieurs choses à la fois.

Bien sûr c’est un langage. 2+3, 3+2 et 5, c’est différentes manières de dire la même chose. Mais ce qui est essentiel, c’est que cela ne réduit pas à un langage et une des choses qui fait la différence ce sont les applications potentielles, que ce soient des applications au monde extérieur ou à la création mathématique elle-même. En cela, ce sont absolument des sciences.

Souvent nous parlons de belles mathématiques ou de mathématiques sales. Là aussi je pense qu’une des différences entre les deux réside dans le potentiel d’applications. Belles mathématiques sont des mathématiques qui avec concision ont beaucoup d’applications. Sales seraient celles utiliseraient beaucoup de verbiage mathématique et qui cependant auraient peu d’applications.