Régularité et équations de continuité. Du nouveau en mécanique des fluides compressibles.

Dans l'article [1], D. Bresch et P.- E. Jabin ont développé une nouvelle méthode mathématique pour quantifier au cours du temps une régularité très faible pour des solutions $\phi$ d'équations de continuité, en variable eulérienne, avec champ de vitesse d'advection $u$ non régulier
 $$\partial_t \phi + {\rm div} \, (\phi u) = 0 \hbox{ sur } (0,T)\times \Omega,
     \qquad     \phi\vert_{t=0}= \phi_0 \hbox{ sur } \Omega$$
où $\Omega$ désigne le domaine spatial et $(0,T)$ l'intervalle de temps considéré. Des résultats existaient, en variable lagrangienne [4], sous certaines hypothèses de compressibilité de la vitesse $u$ et de bornes par en dessus et par en dessous de $\phi$. Le lecteur intéressé est renvoyé au mini-cours à paraître dans [2] qui présente les deux approches. L'idée introduite par D. Bresch et P.- E. Jabin est d'adapter la méthode de doublement de variables à la Kruzkov (voir [9]) en introduisant des poids convenablement choisis au travers d'une équation de transport avec un  terme d'amortissement spécifique lié aux inconnues. L'analyse des propriétés de ces poids permet alors d'en connaître l'impact sur la propagation de compacité en espace sur une suite de solutions au travers d'un contrôle non-local dans l'esprit de [3].

Les auteurs ont pu exploiter cette méthode quantitative de régularité dans [1] pour  apporter une réponse à deux problèmes ouverts, concernant les équations de Navier-Stokes compressible barotrope. Montrer la stabilité, et donc l'existence de solutions faibles "à la Leray" (à travers la construction de solutions approchées), de solutions pour les équations de Navier-Stokes compressible dans les deux cas suivants :
- le cas où la pression n'est pas monotone en la densité: voir 1)
- un cas où le tenseur des contraintes est anisotrope: voir 2)

Ces deux cas, importants en terme d'applications (biologie, géophysique par exemple), échappaient  à la théorie maintenant classique en dimension d=  2 et 3 de P.-L. Lions, E.~Feireisl & {al}. voir [10], [6], [5]. Voir également [11], [7] et [8] pour le cas en dimension un d'espace ou le cas axisymétrique.

Pour plus de précisions, les deux cas traités sont les suivants.

1) Le cas où la pression n'est pas monotone en la densité.

On considère ici le cas d'un domaine périodique $\Omega = T^d$ avec $d=2,3$. Le système de Navier-Stokes compressible barotrope s'écrit alors  en la densité $\rho$ et le champ de vitesse $u$ :
$$\partial_t\rho + {\rm div}(\rho u) = 0 $$
$$\partial_t(\rho u) + {\rm div}(\rho u\otimes u) - \mu \Delta u - (\lambda + \mu) \nabla {\rm div} u + \nabla p(\rho) = 0$$ avec $\mu>0$, $d\lambda + 2\mu>0$. La loi de pression $p$ est supposée localement lipschitz sur $[0,+\infty)$ avec $p(0)=0$ et telle qu'il existe une constante $0<C<+\infty$ telle que pour $\gamma\ge 3d/(d+2)$ on ait $$ C^{-1} \rho^\gamma - C \le p(\rho) \le C \rho^\gamma + C$$ et pour tout $s\ge 0$ $$|p'(s)| \le  C s^{\gamma -1}.$$
Pour tout $0<T<+\infty$, sous hypothèse d'énergie cinétique finie initialement, on obtient alors existence globale de solutions faibles "à la Leray" sur $(0,T)\times \Omega$. Un cadre plus général peut être considéré quant aux constantes.

2) Un cas où le tenseur des contraintes est anisotrope.

On considère ici le cas d'un domaine périodique $\Omega = T^d$ avec $d=2,3$.  Le système de Navier-Stokes compressible barotrope s'écrit alors en la densité $\rho$ et le champ de vitesse $u$ :
$$\partial_t\rho + {\rm div}(\rho u) = 0$$
$$\partial_t(\rho u) + {\rm div}(\rho u\otimes u) - {\rm div}(A(t)\nabla u) - (\lambda+\mu)\nabla {\rm div} u + \nabla p(\rho)=0$$
où $A$ est une matrice $d\times d$ dépendant du temps telle que $A(t) = \mu {\rm Id} + A_1(t)$ et avec $\mu>0$ et $2\mu/d + \lambda - \|A_1(t)\|_{L^\infty} > 0$. La loi de pression $p$ est localement lipschitz sur $[0,+\infty)$ avec $p(0)=0$ et
$$ C^{-1} \rho^{\gamma-1} - C \le p'(\rho) \le C \rho^{\gamma-1} + C.$$
En supposant
$$\gamma > \frac{d}{2} \Bigl[(1+\frac{1}{d}) + \sqrt{1+\frac{1}{d^2}}\Bigr],$$
pour tout $0<T<+\infty$,  il existe une constante $C_*>0$ universelle telle que si
$$ \|A_1(t)\|_\infty \le C_* (2\mu + \lambda).$$
et sous hypothèse d'énergie cinétique finie initialement alors on a existence globale de solutions faibles "à la Leray" sur $(0,T)\times \Omega$ pour le système de Navier-Stokes compressible anisotrope.