Sur les singularités visqueuses en mécanique des fluides compressibles

Le 6^e problème du Millenium de l'Institut Clay1 a une formulation élémentaire : la dynamique d'un fluide incompressible, régie par les équations de Navier-Stokes, peut-elle aboutir à la formation d'une singularité ? Non si l'écoulement est bidimensionnel, c'est le travail pionnier de Jean Leray [8] dans les années 1930, et c'est en dimension trois d'espace que la complexité du problème résiste durablement à l'analyse mathématique.

L’analyse de Fourier permet une description explicite de la propagation d’ondes linéaires2 , au moins dans des domaines à géométrie simple. Mais dès que le problème devient non linéaire, et sauf dans les cas exceptionnels régis par une structure de complète intégrabilité, aucune formule explicite n’est connue et la compréhension des mécanismes non linéaires est souvent largement ouverte. La possibilité de la formation de singularités par concentration non linéaire du paquet d’ondes est au coeur de modélisations physiques classiques en lien par exemple avec la focalisation d’un faisceau laser, l’effondrement gravitationnel d’une étoile ou la description de mécanismes turbulents en mécanique des fluides.

Les progrès de l’analyse non linéaire des vingt dernières années ont permis des avancées importantes dans la compréhension des mécanismes de formation de singularité sur des problèmes modèles, avec notamment la classification3 en problème "critique" ou "sur-critique", le monde sur-critique étant la frontière de la recherche actuelle et le coeur de l’étude des équations de Navier Stokes incompressible en dimension trois d'espace.

Le problème incompressible demeure pour l’heure ouvert, mais la série de travaux [9, 10, 11] ouvre une brèche pour l’étude des singularités fluides à un double titre. Tout d’abord elle répond par la négative à une conjecture formulée par Jean Bourgain [1] pour un problème sur-critique classique, l’équation de Schrödinger non linéaire défocalisante, en mettant à jour des mécanismes de formation de singularités insoupçonnés. Ensuite parce que ces travaux répondent, dans le cas des fluides compressibles, à un problème incontournable dans l’étude des équations de Navier Stokes: comment prendre en compte la viscosité en présence d’une singularité fluide ?

1. Un problème modèle : (NLS) défocalisant

L'équation de Schrödinger non linéaire défocalisante

$$(NLS)\ \ \left|\begin{array}{l}
i\partial_tu+\Delta u-u|u|^{p-1}=0,\\
u(0,x)=u_0(x),
\end{array}\right.$$

où $(t,x)\in \Bbb R\times\Bbb R^d$, $u(t,x)\in\Bbb C$, $\Delta =\sum_{j=1}^d\partial^2_{x_j}$, est un problème modèle aux racines physiques profondes [14] qui a attiré une somme considérable de travaux mathématiques depuis les années 1980. Il faut la penser comme un système dynamique en dimension infinie : au temps $t=0$, on se donne le paquet d'ondes $u(0,x)\equiv u_0(x)$ régulier et bien localisé en espace $\lim_{|x|\to \infty} u_0(x)\to 0$, on cherche alors à décrire la solution $u(t,x)$ pour $t>0$.

1.1 Dispersion linéaire

Le flot du problème linéaire

$$\left|\begin{array}{l}i\partial_tu+\Delta u=0,\\u(0,x)=u_0(x),\end{array}\right.$$

est explicite : la transformée de Fourier en espace $$\hat{u}(t,\xi)=\int_{\Bbb R^d} u(t,x)e^{-i(x|\xi)}dx$$ obéit à la loi

$$\hat{u}(t,\xi)=e^{-it|\xi|^2}\hat{u}_0(\xi)\quad (1.2)$$

qui implique immédiatement par Plancherel la conservation de l'énergie totale

$$\int_{\Bbb R^d}|u(t,x)|^2dx=\int_{\Bbb R^d}|u_0(x)|^2dx \quad (1.3)$$

et par Fourier inverse la décroissance locale de l'énergie

$$\forall R>0, \ \ \lim_{t\to+\infty}\int_{|x|\le R}|u(t,x)|^2dx=0,$$

c'est la dispersion ou étalement du paquet d'ondes.

1.2 La théorie sous-critique à la Ginibre et Velo

L'étude du problème non linéaire complet (1.1) est révolutionnée au début des années 1980 par deux physiciens théoriciens, Jean Ginibre et Georgio Vélo, [5], qui sont les premiers à comprendre comment adapter des outils d'analyse linéaire à l'étude du problème non linéaire et à utiliser des propriétés fines du groupe de Schrödinger linéaire (1.2), les estimées de Strichartz [13] au cœur des théorèmes de restriction en analyse harmonique, pour contrôler le flot non linéaire. Leur analyse est en trois temps.

• Lois de conservation.

La masse (1.3) et l'énergie mécanique totale

$$E(u)=\frac 12\int_{\Bbb R^d}|\nabla u(t,x)|^2dx+\frac{1}{p+1}\int_{\Bbb R^d}|u(t,x)|^{p+1}dx=E(u_0)$$

sont des invariants du flot qui fournissent un contrôle a priori de la solution au sens de la "norme d'énergie" :

$$\|u(t,\cdot)\|\equiv\left(\|u(t,\cdot)\|^2_{L^2(\Bbb R^d)}+\|\nabla u(t,\cdot)\|^2_{L^2(\Bbb R^d)}\right)^{\frac 12}\lesssim \|u(0,\cdot)\|. \quad (1.4)$$

• Théorie de Cauchy sous-critique.

On montre que dans le régime sous-critique

$$ 1<p<\left|\begin{array}{l} +\infty\ \ \mbox{pour}\ \ d=1,2,\\
 \frac{d+2}{d-2}\ \ \mbox{pour}\ \ d\ge 3,
 \end{array}\right.\quad(1.5)$$

le problème (1.1) est bien posé dans l'espace d'énergie, et que si une singularité se forme en temps fini $T<+\infty$ alors nécessairement

$$\lim_{t\uparrow  T}\|u(t,\cdot)\|=+\infty.\quad(1.6)$$

Mais ceci contredit l'estimation a priori (1.4), et donc toutes les solutions sont globales en temps : aucune singularité ne peut se former. Le critère d’explosion (1.6) est un résultat profond reposant sur une étude fine des mécanismes dispersifs.

• Dispersion non linéaire.

On démontre, toujours dans le régime (1.5) et sous la condition additionnelle $p>1+\frac 2d$, que toutes les solutions du problème non linéaires se comportent asymptotiquement en temps comme une solution du problème linéaire : le paquet d'ondes disperse et l'attracteur universel est la dynamique linéaire.

Ce schéma de preuve a nourri un nombre impressionnant de travaux jusqu'à aujourd'hui et permis une compréhension complète de problèmes non linéaires sous-critiques.

1.3. Le cas critique

La preuve de Ginibre et Velo s'effondre dans le cas critique

$$d\ge 3, \ \ p=\frac{d+2}{d-2},$$

car le critère d'explosion (1.6) est faux : contrôler la norme d'énergie ne suffit plus à propager la solution qui pourrait former une singularité par concentration. Dans son article pionnier [2], Bourgain montre l'impossibilité de ce scenario par un argument inductif inspiré de l'elliptique non linéaire et qui trouve sa formulation finale dans les travaux de Kenig-Merle [7]. On sait par des arguments d'analyse harmonique que les petites solutions sont globales et dispersives. On raisonne alors par l'absurde en supposant qu'il existe une singularité, et l'on montre par des arguments abstraits d'analyse fonctionnelle à la Palais-Smale que cela implique l'existence d'une "singularité minimale". Le contrôle a priori (1.4) de la norme d’énergie, qui est critique, est dans cette étape essentiel. On étudie alors les propriétés fines de tels objets dont il faut in fine nier l'existence à l'aide de fonctionnelles de monotonie non linéaires. La conclusion est la preuve par l'absurde de l'extension du Théorème de Ginibre et Velo au cas critique : toutes les solutions sont aussi globales et dispersives quand $t\to+\infty$ dans le cas critique.

1.4. Le cas sur-critique

Mais l'approche critique s'effondre immédiatement dans le cadre sur-critique

$$d\geq 3, \ \ p>\frac{d+2}{d-2},\quad(1.7)$$

car extraire une singularité minimale nécessiterait le contrôle d’une norme plus forte que la norme d’énergie. Nous sommes face à un système dynamique de dimension infinie pour lequel la seule estimation a priori connue des solutions est beaucoup trop faible pour contrôler le flot.

Dans son article du Millenium [1], Bourgain conjecture explicitement existence globale et dispersion pour (NLS) défocalisant sur-critique. Il propose même une approche numérique pour tester la conjecture qui sera implémentée dans [4].

Deux faits majeurs appuient la conjecture. Tout d'abord le terme non linéaire a un signe défini qui semble pousser pour la défocalisation du paquet d'ondes. Considérons par exemple le problème plus simple de la chaleur non linéaire défocalisante

$$\partial_tu=\Delta u -u|u|^{p-1},$$

alors même dans le régime sur-critique (1.7), toutes les solutions sont globales et dissipatives, c'est une conséquence immédiate du principe du maximum et du signe de la non linéarité. Ensuite si on connait dans d'autres situations, typiquement pour des problèmes focalisants où le signe du terme non linéaire est inversé, l'existence de solutions explosives, les mécanismes de formation de singularité sous-jacents s'appuient sur des structures non linéaires spécifiques qui n'existent pas dans le régime défocalisant.

En d'autres termes, il n'existe pas de scenario raisonnable de formation de singularités pour le problème défocalisant.

1.5 Explosion énergie sur-critique

La première singularité sur-critique défocalisante est décrite dans [11].

Théorème 1.1 ([11])

Prenons $$(d=5, p=9)$$ alors il existe des solutions de (1.1) issues de données initiales parfaitement régulières et décroissantes à l'infini qui forment une singularité en temps fini.

Le cœur de l'analyse est la découverte d'un nouveau type de singularités (scenario de type front) dont la description requiert de passer en variables hydrodynamiques : on écrit le nombre complexe $u(t,x)$ en phase et module

$$u(t,x)=\rho(t,x)e^{i\phi(t,x)}$$

et l'on montre que le flot sous-jacent pour $(\rho, \nabla_x \phi)$ est dans certains régimes approximé par une dynamique de type fluide compressible. La singularité défocalisante énergie sur-critique possède alors une formulation limpide : un choc se forme dans les variables hydrodynamiques par implosion.

2. Le lien vers la mécanique des fluides

2.1 Equations de Navier Stokes incompressible

Un lien conceptuel existe entre (NLS) défocalisant et les équations de Navier Stokes incompressible

 $$({\rm NS})\ \ \left|\begin{array}{l}
 \partial_tu-\Delta u+u\cdot \nabla u+\nabla p=0,\\
 \nabla \cdot u=0,\\
u(0,x)=u_0(x),
 \end{array}\right.
 $$
où $u$ est la vitesse du fluide, $p$ sa pression, $(t,x)\in \Bbb R\times\Bbb R^d$, $u(t,x)\in\Bbb R^d$, $\nabla \cdot  u=\sum_{j=1}^d\partial_{x_j}u_j$, $(u\cdot\nabla u)_j=\sum_{k=1}^du_k\partial_{x_k}u_j$, $(\nabla p)_j=\partial_{x_j}p$. En effet, la loi de conservation $$\frac12\frac{d}{dt}\left(\int_{\Bbb R^d} |u(t,x)|^2dx\right)+\int_{\Bbb R^d}|\nabla u(t,x)|^2dx=0$$ est critique en dimension d'espace $d=2$, et c'est ce qui permet à Leray dès 1934 de démontrer existence globale et dissipation de toutes les solutions, et sur-critique en dimension $d=3$ où l'existence de singularités est le $6^e$ problème du Clay. Une question fondamentale est celle de l'influence de la viscosité $(-\Delta u)$ supposée agir comme une "force de frottement" s'opposant à la concentration de l'énergie. Pourtant son rôle reste mystérieux, et même le problème non visqueux d'apparence plus simple d'Euler incompressible
 $$(Euler)\ \ \left|\begin{array}{l}
 \partial_tu-u\cdot \nabla u+\nabla p=0,\\
 \nabla \cdot u=0,\\
u(0,x)=u_0(x),
 \end{array}\right.
 $$

reste mal compris. Le terme de transport non linéaire $u\cdot\nabla u$ est extrêmement complexe, et décrire de "grandes" dynamiques non linéaires est un challenge.

2.2 Equations de Navier Stokes compressible

Elles relaxent la condition de divergence nulle $\nabla \cdot u=0$ en autorisant la densité à varier en temps et en espace. Le modèle le plus simple à symétrie sphérique prend la forme

$${\rm (NS)_{comp}} \left|\begin{array}{lll}\partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho u)=0,\\\rho\partial_tu-\Delta u+\rho u\cdot\nabla u+\nabla p =0,\\p=\rho^\gamma,\\\end{array}\right.$$

dont la forme non visqueuse est le modèle d'Euler compressible

$${\rm (Euler)_{comp}} \left|\begin{array}{lll}\partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho u)=0,\\\rho\partial_tu+\rho u\cdot\nabla u+\nabla p =0,\\p=\rho^\gamma.\end{array}\right.$$

De manière tout à fait spectaculaire, l'existence de solutions explosives pour ces modèles peut être obtenue via des arguments de convexité élémentaires qui interdisent à certaines classes de solutions d'exister globalement en temps, [12], mais la description des ondes de choc associées reste largement ouverte.

Dans un travail pionnier [3], Christodoulou décrit complètement les solutions d'Euler compressible bi et tri dimensionnelles à données petites et notamment la formation de chocs. C'est un travail remarquable au cœur de l'analyse de la propagation des ondes quasi linéaires, mais qui ne peut s'étendre au cas de Navier-Stokes : parce que les singularités sont petites, la viscosité les régularisera immédiatement. Il n'existe pas de "petite" singularité visqueuse.

2.3 Explosion pour Navier-Stokes compressible

Le premier résultat de description de solutions explosives pour les équations visqueuses compressibles est obtenu dans [9, 10].

Théorème 2.1 ([9, 10])

Soit

$$d=3, \ \ 1<\gamma<1+\frac{2}{\sqrt{3}}, \quad (2.1)$$

alors ${\rm (NS)_{comp}}$ admet des solutions qui forment une singularité avec pour dynamique principale un régime implosif gouverné par le modèle non visqueux ${\rm (Euler)_{comp}}$.

Ainsi dans le régime de paramètres (2.1), il existe de "grandes" solutions explosives d'Euler compressible qui sont tellement violentes que la viscosité n'a pas le temps de les régulariser. C'est exactement la même dynamique qui est au cœur du Théorème 1.1. La numérologie est ici fondamentale : en dimension $d=2$, la conjecture prédit l'existence globale pour Navier Stokes compressible, donc tous les chocs Eulériens, même grands, devraient être régularisés, contrairement au cas de la dimension trois.

2.4 Profils explosifs

La mesure de l'influence de la viscosité et des liens entre Navier Stokes et Euler est l'objet d'une littérature abondante. La nouveauté de [9, 10] est de quantifier cette dépendance dans certains régimes en exhibant notamment une numérologie où la dimension d’espace joue un rôle fondamental. L'architecture de la preuve est en trois temps. Tout d'abord décrire le scenario de l'implosion en extrayant après renormalisation le profil explosif. Celui-ci satisfait une équation non linéaire stationnaire qui sous des hypothèses de symétrie se ramène à un système dynamique autonome au portrait de phase explicite et dont l'étude remonte aux années 1940, [6]. On étudie ensuite la stabilité de ces profils, et une découverte inattendue est un lien entre la structure spectrale de l'opérateur linéarisé et la régularité au passage de la ligne sonique du profil considéré. Une condition de quantification des vitesses d'explosion survient comme conséquence de cette contrainte de régularité, [9]. Une fois construit un profil linéairement stable, la démonstration de sa stabilité non linéaire, [10], s'inscrit dans la lignée des immenses progrès faits ces vingt dernières années pour l'étude des ondes semi et quasi linéaires.

2.5 Scenarii explosifs

La série de travaux [9, 10, 11] illustre l'importance de comprendre en amont le scenario explosif : c'est la renormalisation de la singularité qui permet d'extraire les équations principales, et l'existence de solutions de ces problèmes non linéaires renormalisés est la clef de l'analyse. Une difficulté supplémentaire dans le cadre des équations incompressibles est l'absence de groupe de symétrie simple, et l'étude de problèmes même restreints demeure difficile. Nous sommes ici au coeur de la mécanique des fluides : outrageusement complexe, mais riche de trésors insoupçonnés.

• 1Voir https://www.claymath.org/millennium-problems/navier-stokes-equation.
• 2Voir par exemple (1.2).
• 3Qui est motivée en section 1 dans le cas particulier de l’équation (1.1).