8ECM : Interview d’Alice Guionnet

Questions :

1- Quel est votre domaine de recherche ?
2- Pouvez-vous nous en dire plus sur les matrices aléatoires ?
3- Dans quels autres domaines les matrices aléatoires en sont-elles venues à se développer ?
4- Qu’est-ce qui explique la présence des matrices aléatoires dans beaucoup de domaines ?
5- Qu’aimez-vous dans le métier de mathématicienne ?
6- Que diriez-vous à une jeune femme qui voudrait embrasser une carrière scientifique ?
7- Qu’est-ce que cela représente pour vous d’être oratrice invitée à l’ECM ?
8- Que retirez-vous de votre participation à un congrès international ?
9- Quel est votre rapport à la diffusion ?
10- Comment décririez-vous votre rôle comme académicienne ?
11- Y a-t-il un message que vous voudriez faire passer aux jeunes ?

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1- Quel est votre domaine de recherche ?

Mon domaine de recherche est principalement les probabilités avec des incursions en algèbres d’opérateurs et des applications en physique. Je me suis d’abord intéressée à des questions issues de la physique statistique où on cherche à comprendre des propriétés physiques macroscopiques à partir de modèles microscopiques de particules, par exemple le phénomène d’aimantation d’un échantillon de matière à partir de l’aimantation magnétique des électrons. Dans ces questions, on étudie un grand nombre de particules qui ont souvent un comportement désordonné aléatoire mais qui interagissent selon les lois de la physique et on cherche à extraire un comportement global quand ce nombre de particules devient très grand, qu’il tend vers l’infini. Cela m’a emmenée à étudier les grandes matrices aléatoires, magnifique objet mathématique dont l’étude a occupé une grande partie de mon activité. On peut y penser comme de grands tableaux de données dont les coefficients sont choisis au hasard. Elles interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique, des statistiques à la mécanique quantique. Tout d’abord dans l’analyse de données que souvent on connaît de façon incomplète, inconnue souvent modélisée par de l’aléa. Mais aussi en algèbres d’opérateurs, où elles fournissent des exemples particulièrement riches qui se sont révélés au sein du domaine relativement récent des probabilités libres. De plus, elles fournissent des archétypes très intéressants de problèmes de physique des particules en interaction forte. Les matrices aléatoires sont donc des objets mathématiques particulièrement riches, à l’interface avec de nombreux domaines.

2- Pouvez-vous nous en dire plus sur les matrices aléatoires ?

Les matrices aléatoires apparaissent au début du XX^e siècle en statistique. Le mathématicien écossais John Wishart les introduit dans le cadre de l’analyse de données. Une matrice aléatoire, c’est un tableau de coefficients : vous mesurez une chose par plusieurs mesures différentes. Une question que vous pouvez vous poser est de savoir si vos mesures sont corrélées. En sport par exemple, si vous voulez voir s’il y a une corrélation entre le fait d’être bon en natation et en hockey sur glace, vous mesurez les performances de plusieurs sportifs dans différents sports et vous essayez de comprendre s’il y a une corrélation entre le fait qu’ils soient bons dans les deux sports choisis. Le problème est que les données sont bruitées, dans le sens où il peut y avoir une contre-performance, le sportif peut avoir fait un mauvais temps. Il faut donc essayer de comprendre la réalité des données au-delà du bruit. Wishart avait introduit ce modèle de matrices aléatoires pour essayer de comprendre cette question. Ce sont des problèmes qui sont encore très importants dans l’analyse de données, en particulier quand on analyse de grands tableaux de données.

On parle de matrices aléatoires parce qu’on choisit leurs coefficients aléatoirement, l’aléa modélisant ce qui est inconnu. En règle générale, les probabilités servent à modéliser ce qu’on ne connaît pas. Quand vous tirez un dé, vous allez dire qu’il tombe avec une probabilité d’un sixième sur le six parce que vous ne savez pas grand-chose d’autre. A priori vous pourriez en savoir plus si vous connaissiez l’impulsion donnée, car tout est soumis aux lois de la physique. Mais il y a tellement de choses qui se passent de façon qu’on ne peut pas savoir ou calculer exactement, qu’on modélise cela par le hasard. De même, pour les données, il y a beaucoup de choses qu’on ne connaît pas exactement et on va modéliser cet inconnu par de l’aléa. Voilà pour les débuts des matrices aléatoires.

3- Dans quels autres domaines les matrices aléatoires en sont-elles venues à se développer ?

Les matrices aléatoires sont aussi reliées aux hamiltoniens. Un peu plus tard au cours du XX^e siècle, le physicien hongrois Eugene Wigner s’y est intéressé pour modéliser des opérateurs hamiltoniens de systèmes quantiques. Ces hamiltoniens, comme il y a beaucoup d’électrons, peuvent également être très difficiles à étudier. L’idée de Wigner fut de les approximer par des grandes matrices aléatoires, en fixant cet aléa de façon à ce que tout ce qu’on connaît sur la physique soit satisfait. Dans ces cas-là ce sont les valeurs propres, qui sont les énergies du système, qu’on va essayer de comprendre.

Elles sont également reliées à d’autres domaines des mathématiques, par exemple les algèbres d’opérateurs. Les matrices sont aussi des opérateurs, dans le sens où elles ne commutent pas. Quand on multiplie a par b, ce n’est pas égal à b fois a. Dans la vie commune on peut y penser comme à des opérations, comme celles de sécher et laver le linge : on aura pas le même résultat en lavant le linge puis en le séchant que l’inverse ! C’est la naissance de la théorie des algèbres d’opérateurs. En tant qu’objets non commutatifs, les grandes matrices aléatoires produisent des exemples importants en algèbres d’opérateurs et ont permis des avancées importantes dans ce domaine, notamment grâce à la théorie des probabilités libres.

Les grandes matrices aléatoires ont également permis l’essor de toute une théorie de variables aléatoires, les variables en interaction forte. En probabilités, les questions sont souvent posées en fonction de variables indépendantes. Quand par exemple vous tirez deux fois de suite un dé, les deux tirages sont supposés indépendants. Ce que vous avez tiré au premier coup ne va pas influencer ce que vous allez tirer au 2^e ou 3^e coup. La théorie des probabilités s’est développée autour de cette notion d’indépendance et nous avons peu d’outils pour affronter des problèmes où les variables aléatoires sont très corrélées. Les valeurs propres des matrices aléatoires sont très corrélées et cela fournit un archétype pour d’autres modèles, par exemple les pavages aléatoires. Si vous essayez de paver un certain domaine, disons avec des losanges, vous pouvez avoir beaucoup de possibilités. Mais si vous ne voulez pas faire de trou dans ce pavage, les positions des pavages sont très contraintes. Vous pouvez vous demander à quoi ressemble un pavage que vous aurez choisi aléatoirement parmi toutes les possibilités. Il se trouve que mathématiquement ces pavages sont très liés aux valeurs propres des matrices aléatoires et leur étude a bénéficié de la théorie des matrices aléatoires.

4- Qu’est-ce qui explique la présence des matrices aléatoires dans beaucoup de domaines ?

Les probabilités sont un domaine assez récent, il n’a été formalisé qu’au XX^e siècle par Kolmogorov, mais il s’est développé dans toutes les sciences pour modéliser et prédire l’inconnu. Les matrices aléatoires sont des objets mathématiques encore plus nouveaux, qui combinent les notions de probabilités et d’opérateurs. Elles sont des objets très naturels et qui par là-même interviennent dans de nombreux problèmes et domaines différents. C’est ce que j’aime dans cette théorie. Elle offre une diversité mathématique, mais aussi dans les applications et les contacts. Je travaille avec des physiciens, je me tourne vers l’informatique et la statistique. Je suis même dans un comité sur la télécommunication sans fil.

Si les matrices aléatoires arrivent naturellement dans de nombreux problèmes de toutes les sciences, ce n’est pas pour autant qu’elles sont faciles ! Mais c’est pourquoi je leur ai consacré une grande partie de mon activité.

5- Qu’aimez-vous dans le métier de mathématicienne ?

J’aime avoir du temps devant moi, m’asseoir et réfléchir à un de mes problèmes, sentir la solution pas loin, mais pas encore là, tourner autour d’elle jusqu’à ce qu’elle apparaisse. Il n’y a pas que ça dans le métier de mathématicienne, il y les comités de prix, les commissions de recrutement. Ma responsabilité de directrice d’unité me prend du temps… Mais faire des maths, c’est le cœur et le plaisir du métier.

6- Que diriez-vous à une jeune femme qui voudrait embrasser une carrière scientifique ?

Les femmes souvent n’osent pas se lancer dans une carrière scientifique, à mon avis parce que la société qui nous entoure ne renvoie pas que c’est une place naturelle pour elles. Je dirais simplement à une jeune femme d’y aller, de faire ce qu’elle aime ; que le métier de chercheuse est passionnant et procure une liberté qu’on trouve rarement ailleurs. Il me semble qu’il y a souvent une pression sociale sourde, mais bien existante, sur les jeunes femmes pour ne pas se diriger vers des carrières de chercheuses en sciences, j’en ai eu en tout cas plusieurs témoignages.

7- Qu’est-ce que cela représente pour vous d’être oratrice invitée à l’ECM ?

C’est un grand honneur.

8- Que retirez-vous de votre participation à un congrès international ?

Les congrès internationaux sont généralistes. Beaucoup d’événements se passent en parallèle. On peut être frustré de ne pas pouvoir assister à tout ce qu’on voudrait. Dans la pratique, on court d’un exposé à l’autre et il peut être difficile de nouer des contacts et de discuter. Mais on est aussi amené à écouter des gens extrêmement bons dans des domaines différents et cela peut amener à des découvertes inespérées !

Je pense que ces congrès sont une très bonne occasion à saisir par les jeunes. Je pense qu’on devrait envoyer plus de jeunes que ce qu’on fait à ces congrès, pour qu’ils prennent un peu plus la mesure de ce qui se fait en maths.

9- Quel est votre rapport à la diffusion ?

La diffusion est très importante, voir essentielle pour créer les vocations et se faire comprendre du grand public. C’est une activité à part entière, difficile, qui prend beaucoup de temps. C’est compliqué de bien diffuser. Cela me demande plus de travail de faire un expose de diffusion que de faire un exposé de maths ! Et c’est une activité qui n’est souvent pas suffisamment reconnue.

Pour moi, le but de la diffusion, c’est d’arriver à faire comprendre la science moderne, active aujourd’hui, de faire palper la science qu’on fait de nos jours, de faire éventuellement comprendre une idée, puisque le travail du mathématicien, c’est d’avoir des idées : c’est cela qu’on peut léguer. Et le défi c’est de parler de cela en partant d’un prérequis assez petit. Pour un exposé de diffusion que j’avais à faire récemment, j’ai renoncé à choisir les matrices aléatoires. Le sujet est complexe et je n’ai pas encore trouvé un bon axe d’approche, je ne sais pas où commencer pour en parler.

A l’ENS de Lyon nous avons une maison des mathématiques et de l’informatique, la MMI, dont l’objet est d’appréhender la diffusion comme domaine de recherche. On peut voir la diffusion comme un domaine de recherche. Trouver des bonnes façons de faire de la diffusion, c’est quelque chose qui demande une réflexion à part entière. Il faut réfléchir à la façon de transmettre, aux outils, à la meilleure façon de faire comprendre des concepts pas toujours faciles à des jeunes. C’est une réflexion de recherche parce que cela demande de créer éventuellement des outils nouveaux.

Et puis me semble-t-il la diffusion doit toujours rester logique et rigoureuse et transmettre un contenu mathématique. Il s’agit d’essayer de faire comprendre des choses pointues de façon simple, de transmettre la quintessence des choses, et d’amener la personne à qui on s’adresse à faire une démarche de recherche sur un sujet actuel.

10- Comment décririez-vous votre rôle comme académicienne ?

Il est attendu de moi comme académicienne que je participe à la vie de l’académie. Le cœur de l’activité, c’est de s’impliquer dans les rapports de recherche, d’attribuer les prix pour motiver la recherche, de faire de la diffusion et de représenter l’académie.

L’académie joue un rôle de conseil important auprès de la société. Des comités de réflexion se réunissent sur des questions d’actualité, covid19, réchauffement climatique… Je participe à un comité sur la science ouverte. L’enjeu est d’apporter une réflexion qui permette de proposer les meilleures solutions pour une science ouverte, solutions communes à toutes les sciences. Le comité compte des membres de toutes les sections. Il se réunit régulièrement et m’apprend beaucoup. Participer à ce comité me donne accès à beaucoup d’information, beaucoup plus que je n’en ai jamais eu sur le sujet. Au terme de cette réflexion, l’académie publiera un rapport sur les solutions et les négociations avec les éditeurs scientifiques.

L’académie est un lieu qui concentre beaucoup de la science et des scientifiques, où l’on peut interagir avec beaucoup de monde. Quand nous sommes réunis en section, les exposés de mathématiques nous permettent d’essayer de voir ce qui se fait en recherche en maths en France, de discuter des prix. Nous faisons au mieux pour dynamiser la recherche en France. C’est passionnant mais également énergivore… Il fait bon aussi pouvoir se retrouver devant un problème de maths !

11- Y a-t-il un message que vous voudriez faire passer aux jeunes ?

S’il y a un message que j’aimerais faire passer, c’est le plaisir : le plaisir qu’il y a à faire des maths. Une fois qu’on est tombé dedans, on ne peut plus s’en passer !