Interview de Cyril Houdayer, conférencier invité à l'ICM2022

Je travaille dans le domaine des algèbres d’opérateurs qui est une branche de l’analyse fonctionnelle. Plus précisément, je m’intéresse à l’étude des algèbres de von Neumann qui sont des objets pouvant être définis comme des espaces mesurés noncommutatifs. Je travaille sur la structure, la rigidité et la classification des algèbres de von Neumann provenant de la théorie des probabilités libres, de la théorie ergodique des actions de groupes sur des espaces mesurés et de la théorie géométrique des groupes. Depuis quelques années, j’utilise les algèbres d’opérateurs (C*-algèbres et algèbres de von Neumann) pour étudier la théorie des représentations unitaires et la dynamique de l’espace des fonctions de type positif des réseaux dans les groupes de Lie semisimples de rang supérieur.

Après ma thèse, j’ai passé deux années de postdoctorat à l’Université de Californie à Los Angeles (UCLA) où j’ai travaillé sous l’égide de Sorin Popa. Ces deux années passées à UCLA ont joué un rôle crucial dans mon développement mathématique. Je me souviens d’un environnement stimulant où j’ai beaucoup appris.

 

En 2011, lors d’une école d’été au CIRM à laquelle je participais, j’avais suivi un mini-cours d’Yves Benoist sur les réseaux des groupes de Lie. J’avais été profondément marqué par le théorème du sous-groupe normal de Margulis, qui affirme que tout sous-groupe normal d’un réseau de rang supérieur est ou bien fini ou bien d’indice fini. La démonstration combine de manière remarquable le théorie ergodique et l’analyse fonctionnelle. Ce résultat a eu une grande influence sur mes travaux récents.

C’est un privilège de pouvoir continuer à apprendre tout en travaillant avec mes collaborateurs et en dirigeant des thèses. J’aime aussi la grande flexibilité qu’offre le métier de mathématicien dans la gestion de mon emploi du temps. J’y trouve une harmonie et un équilibre auxquels je suis très attaché.

Je vais parler d’une série de travaux que nous avons entamés avec Rémi Boutonnet en 2019 sur la théorie ergodique noncommutative des réseaux de rang supérieur. Nos résultats représentent en quelque sorte une généralisation noncommutative du théorème du sous-groupe normal de Margulis dont j’ai parlé plus haut. Nous avons récemment remarqué que nos résultats permettent également de retrouver le rang des groupes de Lie simples de rang supérieur en terme d’inclusions d’algèbres de von Neumann associées aux réseaux. Cela donne l’espoir de pouvoir résoudre un jour la célèbre conjecture de rigidité d’Alain Connes concernant l’algèbre de von Neumann des réseaux de rang supérieur. Il est important de rêver en mathématiques !