James Maynard, Fields 2022

James Maynard est né en 1987 au Royaume-Uni. Sous la direction de Roger Heath-Brown, il prépare une thèse à l’Université d’Oxford qu’il soutient en 2013. Après des post-doctorats à Montréal, Berkeley, Princeton et Oxford, il est nommé professeur à l’Université d’Oxford.

Un problème majeur de la théorie analytique des nombres est la description de la répartition des nombres premiers, ces entiers strictement supérieurs à \(1\) qui n'ont que deux diviseurs, c'est-à-dire le plus petit nombre de diviseurs possible.

Si l'on excepte le cas de \(2\) et \(3\), la différence entre deux nombres premiers successifs vaut au moins deux puisque ces deux entiers sont impairs. Si l'on conjecture qu'il existe une infinité de paires de nombres premiers successifs dont la différence vaut \(2\) (tels que \(5\) et \(7\) ou \(11\) et \(13\)), aucune démonstration valable n'a encore été proposée de cette conjecture dite des « nombres premiers jumeaux ». En 2013, Zhang Yitang a montré l’existence d’une infinité de paires de nombres premiers successifs dont la différence vaut moins de \(70\) millions. Un projet collaboratif international en ligne, ouvert à toute personne intéressée Polymath1 a regroupé des spécialistes du domaine. Par optimisation et améliorations successives de la méthode de Yang, chaque demi-heure pendant certaines périodes, le projet a réussi, deux mois après son ouverture, à remplacer \(70\) millions par \(4680\) offrant par ailleurs une simplification de la preuve de Zhang. Par la suite, Maynard (alors post-doctorant à l'Université de Montréal) et Tao, indépendamment l'un de l'autre, ont développé une preuve considérablement plus simple permettant de remplacer ce \(4680\) par \(600\). En combinant les travaux de Zhang et Maynard, le projet Polymath a enfin permis de montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers successifs dont la différence est inférieure à \(246\).

La conjecture des nombres premiers jumeaux revient à poser la question de l'existence d'une infinité d'intervalles de longueur \(2\) contenant au moins \(2\) nombres premiers. Quelle longueur minimale faut-il exiger pour qu'une infinité d'intervalles ayant cette longueur contienne \(m\) nombres premiers ? Maynard démontre dans le même travail, que pour tout entier \(m\), il existe une infinité d'intervalle de longueur \(cm^3e^{4m}\) contenant au moins \(m\) nombres premiers (où \(c\) est un nombre réel constant indépendant de \(m\)).

Si on note \((p_n)_{n\in\mathbb{N}}\) la suite strictement croissante des nombres premiers. On sait donc démontrer qu'il existe une infinité d'entiers \(n\) tels que \(p_{n+1}-p_n\leq 246\) et pour tout \(m\), une infinité d'entiers \(n\) tels que \(p_{n+m}-p_n\leq cm^3e^{4m}\). Même si l'on conjecture que l'on peut remplacer \(m^3e^{4m}\) par une quantité beaucoup plus petite de l'ordre \(m\log m\), il s'agit là d'un résultat remarquable.

Maynard a continué à s’intéresser aux écarts entre nombres premiers. Le théorème des nombres premiers affirme que les nombres premiers sont de plus en plus rares : en moyenne, lorsque \(n\) devient grand, la différence \(p_{n+1}-p_n\) est de l'ordre de \(\log(p_n)\). Trouver de grands écarts, c'est donc trouver des écarts sensiblement plus grands que \(\log p_n\).  En 2014, Maynard a montré l'existence d'une infinité d'entiers \(n\) tels que
\[
p_{n+1}-p_n\geq\log(p_n)\cdot\frac{\log\log(p_n)\cdot\log\log\log\log(p_n)}{\log\log\log(p_n)}.
\]
C'est la première amélioration significative d'un résultat de ce type depuis les travaux de Rankin en 1938. Par des méthodes cette fois différentes, Ford, Green, Konyagin et Tao ont démontré le même résultat.

Dans des travaux plus récents, Maynard, en collaboration avec Koukoulopoulos, s'intéresse à l'approximation de nombres réels par des nombres rationnels. Le théorème d'approximation de Dirichlet implique que pour tout réel non rationnel \(\alpha\in[0,1[\), il existe une infinité de nombres entiers \(a\) et \(q\), premiers entre eux tels que

\[
\Bigg |{\alpha-\frac{a}{q}} \Bigg| \leq\frac{1}{q^2}.
\]

À quelles conditions sur une fonction \(f\colon\mathbb{N}\to\mathbb{R}\) a-t-on pour presque2 tout réel \(\alpha\in[0,1[\) l'existence d'une infinité de nombres entiers \(a\) et \(q\), premiers entre eux tels que
\[
\Bigg |{\alpha-\frac{a}{q}} \Bigg| \leq\frac{f(q)}{q}\text{ ?}
\]
Maynard a démontré en 2019 la conjecture suivante énoncée en 1941 par Duffin et Schaeffer. Notons \(\varphi\) la fonction d'Euler (\(\varphi(n)\) est le nombre d'entiers naturels inférieurs à \(n\) premiers à \(n\)), supposons que la série
\[%
\sum_{q\in\mathbb{N}^\ast}\frac{\varphi(q)}{q}f(q)
\]
diverge. Alors, pour presque tout réel \(\alpha\in[0,1[\) il existe une infinité de nombres entiers \(a\) et \(q\), premiers entre eux tels que %
\[
\Bigg| {\alpha-\frac{a}{q}} \Bigg| \leq\frac{f(q)}{q}.
\]

• 1http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes
• 2C'est-à-dire pour un ensemble de réels α de mesure de Lebesgue 1.