Le modèle local des représentations galoisiennes

Un des aspects le plus omniprésents de l'arithmétique moderne est la possibilité d’interpréter des objets de nature analytique (sommes de Gauss, caractères de Hecke, formes modulaires, fonctions $L$) en termes algébriques (résidus quadratiques, corps cyclotomiques, courbes elliptiques, représentations de $Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$). Un exemple de ces phénomènes est la conjecture de Taniyama-Shimura-Weil, évolution naturelle des questions à la base du grand théorème de Fermat et exemple des réciprocités de Langlands, qui prédit que tout courbe elliptique définie sur $\mathbb{Q}$ "provient'" d'une forme modulaire.

Cette conjecture, et ses plusieurs généralisations, a été abordé dans [BCDT01] à travers la méthode inaugurée par Taylor-Wiles et perfectionné par Kisin, qui permet de géométriser les formes modulaires en termes de faisceaux cohérents sur des espaces de déformation galoisiens locaux. En particulier, les calculs qui ont amené à la preuve de la conjecture de Taniyama-Shimura-Weil ont suggéré que des invariants numériques des anneaux de déformations d'une représentation continue $Gal(\overline{\mathbb{Q}}_p/\mathbb{Q}_p)\rightarrow GL_2(\overline{\mathbb{F}}_p)$ peuvent se décrire en termes des représentations de $GL_2(\mathbb{Z}_p)$ à coefficients dans $\overline{\mathbb{Z}}_p$. Il s'agit de la conjecture dite "de Breuil-Mézard", généralisation de la partie poids de la conjecture de Serre et à la base du programme de Langlands locale p-adique.

Le travail récent [LLHLM23] donne une méthode systématique pour étudier les propriétés géométriques fines des anneaux de déformation galoisiens de $Gal(\overline{\mathbb{Q}}_p/\mathbb{Q}_{p^f})\rightarrow GL_n(\overline{\mathbb{F}}_p)$, en termes des modèles locaux, outils classiques pour la théorie géométrique des représentations et pour l'étude de la géométrie des variétés de Shimura. Ces méthodes permettent in fine d'achever la preuve de plusieurs cas de la conjecture de Breuil-Mézard "géométrique", et de la partie poids de la conjecture de Serre.