« L’Univers des mathématiques » : une carte pour représenter l’étendue de la recherche en mathématique et montrer des utilisations concrètes de la discipline
Comment compte-t-on les manifestants ? Quelle est la probabilité que deux ministres aient la même date d’anniversaire ? Comment chiffrer et déchiffrer un message ? Peut-on faire une sphère avec une feuille de papier ?
Voilà autant de questions que la carte « L’univers des mathématiques » entend illustrer.
Créée en 2023 par CNRS Mathématiques (Insmi), cette carte met en image les domaines de la recherche en mathématiques et montre que les mathématiques répondent à des questions concrètes de notre vie courante.
Prémisses et création de la carte « L’Univers des mathématiques »
L’idée du projet de la carte « L’univers des mathématiques » est venue de la volonté de rassembler et mettre en images la recherche en mathématiques, en montrant le plus de domaines possibles.
« Pour réaliser cette carte des mathématiques, le 1er élément a été d’établir une cartographie pertinente des domaines de recherche en mathématiques. Pour cela, nous avons utilisé plusieurs sources, comme par exemple, la synthèse nationale et de prospective sur les mathématiques (2022) ou la Mathematics Subject Classification (2020), qui comprend presque tous les thèmes de recherche en mathématiques (algèbre, analyse, théorie des nombres, géométrie différentielle, statistique, …). » (Christophe Delaunay)
Une sélection de domaines de recherche a été choisie pour que la carte soit la plus accessible possible.
Pourquoi une carte représentant l’espace ?
« Dans une carte terrestre, les frontières sont marquées, alors qu’en mathématiques les frontières sont très diffuses » : ici l’univers est étendu et permet des passages entre les galaxies pour éviter tout marquage de frontières entre les domaines de recherche, un trou de vers est également évoqué pour représenter ces passages.
Que trouve-t-on dans la carte « L’univers des mathématiques » ?
La carte représente 5 « grandes galaxies » des mathématiques : topologie et logique, arithmétique, algèbre et géométrie, probabilités et statistique, analyse.
Dans ces galaxies se trouvent des constellations et des étoiles qui correspondent à des sujets de mathématique : théorie des modèles, théorie des nombres, systèmes dynamiques, géométrie différentielle, probabilités, analyse numérique et calcul scientifique, théorie de la décision, géométrie non commutative, probabilité discrète, …
En parallèle, plusieurs clins d’œil thématiques se retrouvent sur la carte, incarnés par des dessins.
En particulier, la constellation dans la galaxie « Arithmétique » représente une forme de courbe elliptique faisant écho au domaine central dans la théorie des nombres, l’équilibriste dans la galaxie « Analyse » fait référence à la théorie du contrôle, la partition musicale relie le programme de Langlands à l’analyse harmonique. On trouve également dans la carte le problème des tours de Hanoï, la bande de Möbius, la terre déformant l’espace-temps, le chat de Schrödinger, …
La carte met également en exergue 11 questions concrètes et mathématiques.
Parmi elles : Y-a-t-il plus de possibilités de mélanger un jeu de 52 cartes ou d’atomes sur la Terre ? Le Barbier de Séville se rase-t-il lui-même ? Comment mesurer la complexité d’un nombre ? Que se passe-t-il lors d’une collision entre 2 véhicules ?
Le Barbier de Séville se rase-t-il lui-même ?
Le Barbier de Séville est celui qui rase toutes les personnes de sa ville qui ne se rasent pas elles-mêmes. Alors que se passe-t-il pour lui-même ?
Cette règle est inapplicable et fait référence au paradoxe de Russell : l'ensemble des ensembles n'appartenant pas à eux-mêmes appartient-il à lui-même ?
Si on répond oui, alors, comme par définition les membres de cet ensemble n'appartiennent pas à eux-mêmes, il n'appartient pas à lui-même : contradiction. Mais si on répond non, alors il a la propriété requise pour appartenir à lui-même : contradiction à nouveau. On a donc une contradiction dans les deux cas, ce qui rend paradoxale l'existence d'un tel ensemble.
Comment chiffrer et déchiffrer un message ?
La cryptographie est l’art de chiffrer des messages par la mise en place de crypto systèmes.
Il existe 2 grandes familles de cryptographie : la cryptographie à clé privée pour laquelle les procédures de chiffrement et de déchiffrement sont essentiellement les mêmes et utilisent un même secret et la cryptographie à clé publique. Le principe de cette famille cryptographie est une méthode de chiffrement qui utilise des clés qui ne sont pas identiques : une clé publique pour chiffrer les messages et une clé privée, détenue uniquement par la personne qui reçoit les messages, pour déchiffrer. Ces derniers systèmes initiés dans les années 1970 sont utilisés abondamment de nos jours, par exemple, dans nos cartes de bancaire, et ont révolutionné notre quotidien.
Cette carte est à destination des chercheuses et chercheurs en mathématiques pour leurs activités de diffusion, de l’écosystème large des mathématiques mais aussi du grand public et de tous les curieux.