A propos des travaux de Susanna Zimmermann, médaille de bronze du CNRS 2020

Introduit par Luigi Cremona dans la deuxième moitié du 19^ème siècle, le groupe qu’on appelle aujourd’hui groupe de Cremona est le groupe des automorphismes birationnelles de l’espace projectif de dimension n sur un corps quelconque $P^n$. Un élément du groupe de Cremona est donc une application $f:[x_0 :… :x_n]\mapsto[f_0(x_0,..,x_n) :… :f_n(x_0,…,x_n)]$, les $f_0,…,f_n$ étant des polynômes dans $k[x_0,…,x_n]$, homogènes, de même degré et sans facteur commun pour lequel existe une application $g:[x_0 :… :x_n]\mapsto[g_0(x_0,..,x_n) :… :g_n(x_0,..,x_n)]$, les $g_0,…,g_n$ étant des polynômes dans $k[x_0,…,x_n]$, homogènes, de même degré et sans facteur commun telle que les compositions $f\circ g$ et $g\circ f$ sont l’identité de $P^n$.

La structure du groupe de Cremona est mal connue. Une question naturelle relative à la structure d’un groupe est de savoir s’il est simple ou s’il possède des sous-groupes distingués propres (c’est-à-dire différent de lui-même et du groupe réduit à l’élément neutre) qui permettraient de ramener l’étude à des groupes plus petits : le sous-groupe distingué et le quotient du groupe par celui-ci. Dans le cas du groupe de Cremona, on peut faire remonter la question à Federigo Enriques en 1894 (voir ici). Le théorème Noether-Castelnuovo dit que, lorsque $n=2$, le groupe de Cremona est engendré par le groupe des automorphismes du plan projectif $P^2$ (c’est à dire $PGL_3(k)$) et une involution explicite. Mais cela n’est pas suffisent pour trouver des groupes distingués.

Un premier pas a été franchi par Serge Cantat1 et Stéphane Lamy2 . En 2013, dans un travail publié par Acta Mathematica, ils démontrent que lorsque $n=2$ (et le corps $k$ est algébriquement clos), le groupe de Cremona n’est pas simple. La méthode utilise un théorème de Zariski grâce auquel on sait que tout élément du groupe de Crémona est une composition des éclatements des points et des contractions de courbes sur des points. Elle est donc spécifique au cas $n=2$.

En 2018, Susanna Zimmermann publie dans Duke Mathematical Journal un calcul de l’abélianisé du groupe de Cremona lorsque $n=2$ et $k$ est le corps des nombres réels. En particulier, elle en déduit qu’il n’y a pas dans ce contexte d’équivalent du théorème de Noether-Castelnuovo : le groupe de Cremona n’est pas engendré par le groupe des automorphismes du plan projectif $P^2$ et un ensemble dénombrable de transformations.

Dans un travail en collaboration avec Jérémy Blanc3 et publié en 2018 dans American Journal of Mathematics, Susanna Zimmermann montre que le groupe de Cremona de toute dimension (lorsque le corps est infini) est topologiquement simple pour la topologie de Zariski, il ne contient pas de sous-groupe distingué propre fermé pour la topologie de Zariski. Blanc & Zimmermann démontrent le même résultat avec une autre topologie du groupe de Cremona, la topologie euclidienne, lorsque $k$ est un corps local.

En 2019, dans un travail accepté dans Acta Mathematica et disponible sur Hal, Jérémy Blanc, Stéphane Lamy & Susanna Zimmermann étudient la question de la simplicité du groupe de Cremona de dimension quelconque strictement supérieure à 2 lorsque le corps $k$ est un sous corps du corps des nombres complexes. Dans ce contexte, ils construisent des quotients du groupe de Cremona isomorphes à un nombre non dénombrable de copies de $Z/2Z$ d’où l’on déduit que le groupe de Cremona n’est pas simple. Cela répond à la question de Federigo Enriques.

• 1Directeur de recherche CNRS affecté à l’Irmar, UMR6625 (CNRS, ENS Rennes, Insa Rennes, Université Rennes 1 & Université Rennes 2).
• 2Professeur à l’Université Toulouse Paul Sabatier membre de l’IMT (CNRS, Insa Toulouse & l’Université Toulouse Paul Sabatier).
• 3Professeur à l’Université de Bâle.