Sommes de Gál et applications
En 1949, le mathématicien hongrois István Sándor Gál, alors attaché de recherche au CNRS, publie la démonstration d’une conjecture datant des années 1930 et portant sur la taille maximale d’une quantité de nature arithmétique, appartenant à une large famille dont les éléments sont désignés à présent comme des « sommes de Gál ». Il a fallu attendre les travaux de Lewko et Radziwiłł en 2017 pour préciser ce résultat dans le cas particulier considéré par Gál. Dans un travail récent, accepté pour publication aux Proceedings of the London Mathematical Society, Régis de la Bretèche et Gérald Tenenbaum parviennent à déterminer l’ordre de grandeur précis de ces sommes dans un autre cas particulier. Ils en déduisent de remarquables applications, portant notamment sur les grandes valeurs de la fonction zêta de Riemann sur l’axe critique.
Références
[1] Christoph Aistleitner, István Berkes, and Kristian Seip. GCD sums from Poisson integrals and systems of dilated functions. J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 17(6) :1517–1546, 2015.
[2] Ramachandran Balasubramanian and Kanakanahalli Ramachandra, On the frequency of Titchmarsh’s phenomenon for ζ(s). III. Proc. Indian Acad. Sci. Sect. A, 86(4) :341–351, 1977.
[3] Andriy Bondarenko, Titus Hilberdink, and Kristian Seip. Gal-type GCDsums beyond the critical line. J. Number Theory, 166 :93–104, 2016.
[4] Andriy Bondarenko and Kristian Seip. GCD sums and complete sets of square-free numbers. Bull. Lond. Math. Soc., 47(1) :29–41, 2015.
[5] Andriy Bondarenko and Kristian Seip. Large greatest common divisor sums and extreme values of the Riemann zeta function. Duke Math. J.,166(9) :1685–1701, 2017.
[6] Andriy Bondarenko and Kristian Seip. Extreme values of the Riemannzeta function and its argument. Math. Ann., 372(3-4) :999–1015, 2018.
[7] Andriy Bondarenko and Kristian Seip. Note on the resonance method for the Riemann zeta function. In 50 years with Hardy spaces, volume 261 of Oper. Theory Adv. Appl., pages 121–139. Birkhäuser/Springer, Cham, 2018.
[8] Régis de la Bretèche et Gérald Tenenbaum. Sommes de Gal et applications. Proceedings of the London Mathematical Society. A paraître. https://arxiv.org/pdf/1804.01629.pdf.
[9] István Sándor Gal. A theorem concerning Diophantine approximations. Nieuw Arch. Wiskunde (2), 23 :13–38, 1949.
[10] Andrew Granville and Kannan Soundararajan. Large character sums. J.Amer. Math. Soc., 14(2) :365–397, 2001.
[11] Titus Hilberdink. An arithmetical mapping and applications to Ω-results for the Riemann zeta function. Acta Arith., 139(4) :341–367, 2009.
[12] Bob Hough. The resonance method for large character sums. Mathematika, 59(1) :87–118, 2013.
[13] Mark Lewko and Maksym Radziwill. Refinements of Gál’s theorem and applications. Adv. Math., 305 :280–297, 2017.
[14] Hugh L. Montgomery. Extreme values of the Riemann zeta function. Comment. Math. Helv., 52(4) :511–518, 1977.
[15] Kannan Soundararajan. Extreme values of zeta and L-functions. Math. Ann., 342(2) :467–486, 2008.
[16] Gérald Tenenbaum. Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, coll. Echelles. Belin, quatrième édition, 2015.
Contacts
Régis de la Bretèche est professeur à l’université Paris-Diderot. Il est membre de l’institut de mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche (IMJ-PRG - CNRS, Sorbonne Université & université Paris-Diderot).
Gérald Tenenbaum est professeur à l’université de Lorraine. Il est membre de l’institut Elie Cartan de Lorraine (IECL - CNRS & université de Lorraine).