Sur les représentations modulaires en caractéristique p de GL2(K)

Soit n un entier supérieur ou égal à 2, le programme de Langlands pour le groupe GL_n relie représentations de dimension n de groupes de Galois et représentations de dimension infinie de GL_n. Pour les besoins de l’arithmétique, on est amené à considérer toutes ces représentations sur des espaces vectoriels sur un corps de caractéristique p pour p un nombre premier arbitraire. Côté GL_n, cela amène au problème suivant : comprendre et construire les - ou des - représentations en caractéristique p de GL_n(K) où K est une extension finie du corps des nombres p-adiques Qp (pour le même nombre premier p!), et plus particulièrement celles de ces représentations qui apparaissent dans des espaces de cohomologie (ce sont les plus importantes).

Le cas où n = 2 et K = Qp, c’est-à-dire celui du groupe GL₂(Qp), a été résolu entre les années 2000 et 2010. À la grande surprise des experts, et contrairement à ce qui se passe pour le programme de Langlands sur des corps de caractéristique différente de p, le cas de GL₂(K) pour K ≠ Qp s’est révélé beaucoup plus dur que pour K = Qp. À tel point que, depuis plus de 20 ans, il n’est toujours pas résolu, et les représentations de GL₂(K) en caractéristique p sont toujours largement mystérieuses.

Dans un article récent1 , les auteurs en collaboration avec Florian Herzig de l’Université de Toronto et Yongquan Hu du Morningside Center of Mathematics ont réussi une percée lorsque K est une extension finie non ramifiée de Qp en déterminant la « taille » (plus précisément la « dimension de Gelfand-Kirillov ») de celles de ces représentations de GL₂(K) qui apparaissent sur la cohomologie. Ce résultat et les techniques déployées pour le prouver leur a ensuite permis de montrer dans un second article2 que beaucoup de ces représentations sont de longueur finie.

Ce court article présente un survol de l’histoire de ce problème, des difficultés rencontrées, et des résultats récents ci-dessus.

• 1Christophe Breuil, Florian Herzig, Yongquan Hu, Stefano Morra, and Benjamin Schraen, Gelfand–Kirillov dimension and mod p cohomology for GL₂(F), Invent. Math. 234 (2023), 1–128.
• 2Christophe Breuil, Florian Herzig, Yongquan Hu, Stefano Morra, and Benjamin Schraen, Conjectures and results on modular representations of GL_n(k) for a p-adic field k, https://arxiv.org/pdf/2102.06188.pdf, preprint (2021).