Valeurs Zêta et valeurs Zêta multiples

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Ce texte a pour but de présenter quelques progrès plus ou moins récents sur les valeurs zêta et une de leurs généralisations connue sous le nom de valeurs zêta multiples dans le cadre classique et dans celui en caractéristique positive. Il est basé sur la présentation faite par l'auteur, Tuan Ngo Dac, directeur de recherche CNRS au Laboratoire de mathématiques Nicolas Oresme (CNRS/Université Caen Normandie), lors de la "Journée commune du Pôle Sciences du Numériques et de la Fédération Normandie-Mathématiques" en février 2022.

1. Valeurs zêta et valeurs zêta multiples d'Euler

1.1. Motivation

La fonction zêta de Riemann est donnée par la série
    ζ(s):=n=11ns


qui est convergente pour tout sC avec Re(s)>1. On montre qu'elle peut être étendue au plan complexe avec un produit d'Euler et une équation fonctionnelle. Malgré de nombreuses percées au cours des siècles, cette fonction zêta garde encore de nombreux secrets, et le plus grand mystère est connu sous le nom d'hypothèse de Riemann.

Les fonctions zêta ou les fonctions L sont calquées sur la fonction zêta de Riemann et apparaissent dans de nombreux contextes différents : les fonctions zêta de Dedekind associées aux corps de nombres, les fonctions zêta de Hasse-Weil associées aux variétés algébriques sur des corps finis, et les fonctions L associées aux formes automorphes et aux représentations galoisiennes. On peut dire qu'elles jouent un rôle central dans la théorie des nombres moderne. L'exemple le plus célèbre est celui qui a permis à Wiles de résoudre la conjecture de Shimura-Taniyama et le dernier théorème de Fermat.

Parallèlement à l'étude des fonctions zêta, celle de leurs valeurs spéciales et de leurs généralisations donne lieu à de nombreux résultats et conjectures profondes en théorie des nombres. Par exemple, la formule analytique du nombre de classes concerne les valeurs spéciales des fonctions zêta de Dedekind. Pour les valeurs spéciales des fonctions zêta de Hasse-Weil, il existe des conjectures  formulées par Birch et Swinnerton-Dyer, Deligne, Beilinson et Bloch-Kato, entre autres.

1.2. Valeurs zêta multiples

Les valeurs zêta multiples d'Euler (MZV en abrégé) sont des nombres réels de la forme
    ζ(n1,,nr)=0<k1<<kr1kn11knrr,où ni1,nr2.


Ici r est appelé la profondeur et w=n1++nr est appelé le poids de la présentation ζ(n1,,nr). Ces valeurs ont été étudiées par les mathématiciens et les physiciens en raison de leurs nombreuses connexions avec de différents domaines tels que la géométrie arithmétique, la physique des hautes énergies, la théorie des noeuds et la théorie des nombres.

1.2.1. Valeurs zêta aux entiers pairs

Lorsque r=1 et n2, on retrouve les valeurs zêta étudiées par Leonhard Euler au 18e siècle qui sont des valeurs spéciales de la fonction zêta de Riemann
    ζ(n):=0<k1kn.

La condition n2 assure que la série ci-dessus est convergente. En fait, c'est un fait très connu que la série harmonique diverge, c'est-à-dire
    k11k=+.


La première preuve est due à Nicolas Oresme en 1360. Il était évêque de Lisieux, traducteur et conseiller du roi Charles V. Le laboratoire de mathématiques de l'Université de Caen Normandie porte aujourd'hui son nom.

Le célèbre problème connu sous le nom de problème de Bâle demandait de trouver une formule fermée pour la valeur zêta ζ(2). Une solution a été trouvée par Euler en 1735 qui a prouvé que
    ζ(2)=π26.


Nous expliquons maintenant sa belle et élémentaire preuve. En regardant les zéros de la fonction sinus, on obtient
    sin(πx)πx=k1(1x2k2).

D'autre part, par la formule de Taylor, on a aussi
    sin(πx)πx=1(πx)23!+(πx)45!+.

On compare les coefficients de x2 pour obtenir l'égalité désirée. Cette méthode permet à Euler de prouver un résultat plus général : si n est pair, alors
    ζ(n)πnQ.

En utilisant ce résultat et le théorème de Lindemann (1882) qui dit que π est un nombre transcendant, nous déduisons

Théorème 1. Pour tout nN et n pair, ζ(n) est un nombre transcendant.

1.2.2. Valeurs zêta aux entiers impairs

Il est naturel de se demander ce que l'on peut dire des valeurs zêta impaires. Sont-elles des nombres transcendants ? Il s'avère que la situation change radicalement et que cette question est beaucoup plus difficile et attire toujours de nombreux mathématiciens de premier plan. Nous pouvons même dire que, malgré de nombreux progrès spectaculaires, elle reste totalement ouverte.

Cependant, nous expliquons ci-dessous les développements les plus importants concernant l'irrationalité des valeurs zêta impaires. Après les travaux d'Euler sur les valeurs zêta paires, on ne savait rien des valeurs zêta impaires. En 1978, Roger Apéry a stupéfié la communauté des mathématiciens en annonçant une preuve que ζ(3) n'est pas un nombre rationnel,

    ζ(3)Q.

Récemment, Ball et Rivoal (2000) ont obtenu un résultat important concernant la nature irrationnelle des valeurs zêta impaires :

Théorème 2. On a dimQζ(3),ζ(5),=+.

Ce théorème peut être amélioré et rendu effectif. Rivoal (2002) a montré qu'il existe un nombre irrationnel parmi les neuf valeurs ζ(5),ζ(7),,ζ(21). Puis Zudilin (2001) a amélioré ce résultat et a prouvé qu'il existe un nombre irrationnel parmi les quatre valeurs ζ(5),ζ(7),ζ(9),ζ(11). Il s'agit du meilleur résultat obtenu jusqu'à présent. Cependant, la question de savoir si ζ(5) est irrationnel ou non reste ouverte. Nous sommes très loin de la transcendance des valeurs zêta impaires.

1.3. Produit harmonique et produit de mélange

Dans sa recherche de formes fermées pour ζ(3), Euler (1776) a découvert des identités entre les MZVs, en particulier,

    ζ(3)=ζ(1,2).

On peut alors facilement montrer que le produit de deux MZVs est une combinaison linéaire à coefficients entiers de MZVs. Il est donc équivalent à déterminer les relations polynomiales à coefficients rationnels entre les MZVs ou à déterminer les relations Q-linéaires entre eux.

En fait, il y a deux façons de le faire. La première méthode est celle du produit harmonique. Par exemple, si n1,n22, on a

ζ(n1)ζ(n2)=(0<k11kn11)(0<k21kn22)=0<k1<k21kn11kn22+0<k2<k11kn11kn22+0<k1=k21kn11kn22=ζ(n1,n2)+ζ(n2,n1)+ζ(n1+n2).

Notez que les poids des MZVs à droite sont les mêmes et sont égaux à n1+n2. Nous laissons au lecteur le soin de réaliser les détails pour le produit de deux MZVs.

La deuxième méthode est celle du produit itéré. Nous définissons d'abord les intégrales itérées par la formule suivante

    I(a1,,an):=0t1tn1dt1t1a1dtntnan.

La multiplication d'intégrales itérées donne le produit de mélange :

  • Mélanger 0ti1 et 0sj1 de toutes les manières compatibles telles que tisj ou tisj.
  • Définir fd.

Kontsevich a prouvé la formule suivante :

   ζ(s1,,sk)=(1)kI(1,{0}s11,,1,{0}sk1).

On peut donc définir le produit de mélange étendu (incluant ζ(1) par régularisation). Illustrons par un exemple concret. Comme ζ(2)=I(1,0), nous avons le produit de mélange

raze
Nous précisons que nous avons mélangé (1,0) et (1,0) de toutes les manières possibles de sorte que 1 soit avant 0 et que 1 soit avant 0.

1.4. Relations linéaires entre les valeurs zêta multiples

1.4.1. Relations de double mélange

Rappelons que l'objectif principal de la théorie des valeurs zêta multiples est de déterminer toutes les relations Q-linéaires entre les MZVs. Une façon possible de produire de telles relations linéaires est d'utiliser le produit harmonique et le produit de mélange.

Par exemple, pour ζ(2) et ζ(2), le produit harmonique donne

ζ(2)ζ(2)=2ζ(2,2)+ζ(4).

D'autre part, le produit de mélange que nous avons présenté ci-dessus donne

ζ(2)ζ(2) dqfg 2ζ(2,2)+4ζ(1,3).

En mettant tout cela ensemble, on obtient

ζ(4)=4ζ(1,3).

Ihara, Kaneko et Zagier (2006) ont conjecturé que ce type d'opérations exhauste toutes les relations linéaires sur Q entre les MZVs.

Conjecture 3 (Ihara-Kaneko-Zagier). Toute relation linéaire sur Q parmi les MZVs apparaît en comparant le produit harmonique et le produit de mélange étendu.

Dans le même esprit, nous mentionnons une conjecture de Goncharov.

Conjecture 4 (Goncharov). Toute relation linéaire sur Q entre MZVs est une somme de relations entre les MZVs de même poids.

Nous notons que la conjecture d'Ihara-Kaneko-Zagier implique la conjecture de Gontcharov. Cette dernière implique une conséquence forte que ζ(n) est irrationnel pour tout n2.

1.4.2. Conjectures de Zagier et Hoffman

Soit kN. Nous considérons Zk le Q-espace vectoriel  engendré par tous les MZVs de poids k. Il est intéressant de noter que le nombre de MZVs de poids k est égal à 2k2.

En utilisant l'algorithme LLL (Lenstra-Lenstra-Lovász), les données numériques suggèrent que

vcxw

Nous concluons qu'il existe de nombreuses relations linéaires Q parmi les MZVs dans Zk.

Nous définissons maintenant une séquence d'entiers dk comme suit : d0=1,d1=0, et d2=1, puis pour k3, dk=dk2+dk3. Zagier (1994) a formulé la conjecture suivante :

Conjecture 5 (Zagier). Pour tout kN, on a
    dimQZk=dk.

Peu après, Hoffman (1997) a proposé un raffinement de la conjecture de Zagier.

Conjecture 6 (Hoffman). Le Q-espace vectoriel Zk a une base constituée de MZVs de poids k de la forme ζ(n1,,nr) avec ni{2,3}.

Ces conjectures de Zagier et Hoffman se composent de deux parties de nature différente. D'une part, la partie algébrique de la conjecture de Zagier concerne les bornes supérieures : dimQZkdk. Pour la conjecture de Hoffman, on veut montrer que Zk est engendré par des MZVs de poids k de la forme ζ(n1,,nr) avec ni{2,3}. D'autre part, la partie transcendante de la conjecture de Zagier concerne les bornes inférieures : dimQZkdk. Pour la conjecture de Hoffman, on veut montrer que les MZV de poids k de la forme ζ(n1,,nr) avec ni{2,3} sont linéairement indépendants sur Q.

La partie algébrique de ces conjectures a été complètement résolue par les travaux de Terasoma (2002), Deligne-Goncharov (2005) et Brown (2012). Ils utilisent la théorie des motifs mixtes de Tate. Nous renvoyons le lecteur qui désire plus de détails à l'exposé au séminaire Bourbaki de Deligne (2013).

Théorème 7 (Terasoma, Deligne-Goncharov). Pour kN, on a
    dimQZkdk.

Théorème 8 (Brown). L'espace vectoriel Zk est engendré par des MZVs de poids k de la forme ζ(n1,,nr) avec ni{2,3}.

Malheureusement, la partie transcendante est complètement hors de portée. Nous ne connaissons même pas un seul kN pour lequel dimQZk>1.

2. Valeurs zêta multiples en caractéristique positive

En caractéristique positive, il existe un cadre, à savoir le cadre des corps de fonctions, qui partage de profondes analogies avec celui des corps de nombres. Soit Fq un corps fini de caractéristique p>0. On considère l'anneau A:=Fq[θ] des polynômes en une variable θ et K:=Fq(θ) son corps de fractions. On notera A+ l'ensemble des polynômes unitaires dans A, et K=Fq((1/θ)) le complété de K en . Puis C désigne le complété d'une clôture algébrique ¯K de K en .

L'analogie se résumé comme suit:

hj

 

Pour toute suite d'entiers positifs s=(s1,,sr)Nr, Thakur (2004) a défini la valeur zêta multiple en caractéristique p (MZV en abrégé) par

ζA(s):=1as11asrrK

où la somme parcourt l'ensemble (a1,,ar)Ar+ avec dega1>>degar. Comme précédemment, r, w(s)=s1++sr sont appelés la profondeur et le poids de ζA(s). Le lecteur attentif note qu'il y a moins de restrictions sur la suite s.

2.1. Valeurs zêta multiples

On considère le cas des valeurs zêta de profondeur 1, autrement dit s=s1=s1. Alors on retrouve les valeurs zêta de Carlitz
    ζA(s):=aA+1asK.

En effet, Carlitz (1935) a montré que si q1s (c'est-à-dire s est ``pair''), alors
    ζA(s)/˜πsK


˜π est appelé la période de Carlitz qui est l'analogue de 2iπ. Puis Thakur (2009) a découvert l'identité
    ζA(q)+D1ζA(1,q1)=0,où D1=θqθK.
    
Le lecteur peut la comparer avec l'identité prouvée par Euler ζ(3)=ζ(1,2).

Thakur a démontré des propriétés fondamentales de ces valeurs. En particulier, il a prouvé que le produit de deux MZVs est une combinaison linéaire à coefficients dans Fq de MZVs. Les formules précises sont plus compliquées. Par exemple, pour tous a,bN, on a
 ζA(a)ζA(b)=ζA(a+b)+0<i<a+bΔia,bζA(a+bi,i)


avec
Δia,b={(1)a1(i1a1)+(1)b1(i1b1)si (q1)i et 0<i<a+b,0sinon.

Comme dans le cadre classique, le but de la théorie est de déterminer toutes les relations K-linéaires entre les MZVs. Heureusement, on peut aller plus loin et prouver des résultats plus forts que le cadre classique. Chang (2014) a démontré l'analogue de la conjecture de Goncharov et prouvé que toute relation K-linéaire entre les MZVs est somme de relations entre les MZVs de même poids. Par conséquent, il suffit de déterminer toutes les relations entre les MZVs de même poids. Par des calculs numériques, Todd et Thakur ont conjecturé:

Conjecture 9 (de Zagier en caractéristique positive). On définit

d(w)={1 si w=0,2w1 si 1wq1,2w11 si w=q,

et d(w)=qi=1d(wi) si w>q. Pour wN, si Zw désigne le K-espace vectoriel engendré par les MZVs de poids w, alors

    dimKZw=d(w).

Conjecture 10 (de Hoffman en caractéristique positive). Soit Tw l'ensemble des MZVs de poids w de la forme ζA(s1,,sr) avec siq for 1i<r et sr<q. Alors Tw forme une base de Zw.

Nous présentons ci-dessous la liste de tous les cas connus où l'on peut déterminer complètement les dimensions de Zw:

  •  w=1 : on a d(w)=1, et ce cas découle du fait que ζA(1)0
  • w=2 et q=2 : d(w)=1, et ce cas est connu par Thakur (2004).
  • w=2 et q>2 : d(w)=2, et ce cas a été prouvé par Mishiba (2015).
  • w=3 et q=2 : on a d(w)=2, et ce cas est déjà connu par Thakur (2004).

2.2. Résultats récents et idées de preuves

2.2.1. Les énoncés

Dans [8], nous démontrons la partie algébrique des conjectures précédentes :

Théorème 11. Soit wN. Alors Zw est engendré par l'ensemble Tw composé des MZVs de poids w de la forme ζA(s1,,sr) avec  siq pour 1i<r et sr<q.

Par conséquent, nous obtenons une borne supérieure pour la dimension de Zw. Il s'agit de l'analogue du théorème de Brown et aussi de ceux de Deligne-Goncharov et de Terasoma. Contrairement au travail de Brown, notre preuve donne un algorithme pour exprimer chaque MZV de poids w comme une combinaison K-linéaire de MZVs dans l'ensemble Tw.

Puis nous démontrons deux résultats pour la partie transcendante des conjectures précédentes.

Théorème 12. Soit wN. Soit T0w l'ensemble des MZVs de poids w de la forme ζA(s1,,sr) avec si<q for 1ir. Alors les MZVs de T0w sont linéairement indépendants sur K.

Théorème 13. Soit w2q2. Alors Tw forme une base de Zw.

2.2.2. Idées de preuves

La preuve du Théorème 11 utilise les techniques purement combinatoires. En effet, notre idée est très naïve: nous essayons d'inspirer des idées d'Ihara-Kaneko-Zagier en produisant par deux façons différentes des relations linéaires entre les MZVs à partir de l'identité de Thakur mentionnée plus haut, à savoir
    ζA(q)+D1ζA(1,q1)=0,avec D1=θqθK.


Puis nous prouvons que cette manière produit toutes relations linéaires entre les MZVs. Plus précisément, en commençant par ζA(s1,,sr) satisfaisant s1>q, nous trouvons un moyen d'exprimer ζA(s1,,sr) comme une combinaison linéaire à coefficients dans K de ζA(t1,,tk) avec t1. Une fois que nous avons s1q, nous continuons à abaisser la deuxième entrée s2 jusqu'à ce que s2q. En répétant ce processus plus un peu de travail supplémentaire, nous obtenons une preuve du Théorème 11.

Les preuves des Théorèmes 12 et 13 sont d'une saveur complètement différente. Elles sont basées sur trois ingrédients clés : la théorie des t-motifs introduite par Anderson (1986) et développée dans [2], une interprétation motivique des MZVs grâce au travail fondateur d'Anderson-Thakur (1990), et enfin un critère de transcendance très puissant appelé le critère d'Anderson-Brownawell-Papanikolas conçu dans [2]. Ce critère s'est avéré très fructueux en arithmétique des corps de fonctions. Plus précisément, il traite du système d'équations σ-linéaires et se lit comme suit.

En prenant t comme autre variable, nous désignons par T l'algèbre de Tate dans la variable t avec des coefficients dans C équipée de la norme de Gauss .. Pour kZ, nous considérons le tordu k-ième de C((t)) définie par

f=iaitiC((t))f(k):=iaqkitiC((t)).

Nous étendons ce tordu aux matrices ayant des entrées dans C((t)) de manière évidente.

Théorème 14 (Anderson-Brownawell-Papanikolas). Soit ΦMat(¯K[t]) une matrice telle que detΦ=c(tθ)s pour un certain c¯K et sZ0. Soit ψMat×1(T) un vecteur satisfaisant ψ(1)=Φψ et ρMat1×(¯K) tel que ρψ(θ)=0. Alors, il existe un vecteur P dans Mat1×(¯K[t]) tel que

Pψ=0andP(θ)=ρ.

Nous construisons d'abord des t-motifs qui lèvent les relations linéaires entre les MZVs. Ensuite, nous appliquons le critère d'Anderson-Brownawell-Papanikolas pour déduire des résultats de rationalité, ce qui à son tour nous ramène à résoudre un système d'équations σ-linéaires. Dans les cas concernés, nous montrons que toutes les solutions de ce système sont triviales, qui nous permettent de conclure.

Pour prouver le Théorème 13, nous ne pouvons pas appliquer directement notre méthode à l'ensemble Tw. Il nous faut contourner en construisant un autre ensemble de MZVs noté Tw ayant la même cardinalité que Tw pour étendre le Théorème 12 à cet ensemble. Nous obtenons ainsi une borne inférieure dimKZwd(w). En combinant cette borne inférieure avec la borne supérieure du Théorème 11, on obtient dimKZw=d(w), et le Théorème 13 s'ensuit. Cette stratégie ne fonctionne pas dans le cas w=2q1 à cause du fait que ζA(2q1) et ζA(1,2q2) sont colinéaires sur K.

Finalement, nous mentionnons que par une approche nouvelle, ces conjectures et leurs généralisations aux valeurs zêta multiples alternées ont été complètement résolues dans un travail récent de Im, Kim, Le, Pham et l'auteur [7].

Références

[1] G. Anderson and D. Thakur. Tensor powers of the Carlitz module and zeta values. Ann. of Math. (2), 132(1):159–191, 1990.

[2]  G. Anderson, W. D. Brownawell, and M. Papanikolas. Determination of the algebraic relations among special Γ-values in positive characteristic. Ann. of Math. (2), 160(1):237–313, 2004.

[3]  F. Brown. Mixed Tate motives over Z. Ann. of Math. (2), 175:949–976, 2012.

[4]  P. Deligne. Multizêtas, d’après Francis Brown. Séminaire Bourbaki. Vol. 2011/2012. Exposés 1043–1058. Astérisque, 352:161–185, 2013.

[5]  P. Deligne and A. Goncharov. Groupes fondamentaux motiviques de Tate mixte. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4), 38(1):1–56, 2005.

[6]  M. Hoffman. The algebra of multiple harmonic series. J. Algebra, 194:477–495, 1997.

[7]  B.-H. Im, H. Kim, K. N. Le, T. Ngo Dac, and L. H. Pham. Zagier-Hoffman’s conjectures in positive characteristic. hal-03667755, 2022.

[8]  T. Ngo Dac. On Zagier-Hoffman’s conjectures in positive characteristic. Ann. of Math. (2), 194(1):361–392, 2021.

[9]  T. Terasoma. Mixed Tate motives and multiple zeta values. Invent. Math., 149(2):339–369, 2002.

[10]  D. Thakur. Function field arithmetic. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2004.

[11]  D. Zagier. Values of zeta functions and their applications. In First European Congress of Mathematics, Vol. II Paris, 1992), volume 120 of Progr. Math., pages 497–512. Birkh ̈auser, Basel, 1994.

Contact

Tuan Ngo Dac est directeur de recherche CNRS au Laboratoire de mathématiques Nicolas Oresme (LMNO - UMR6139 - CNRS/Université Caen Normandie), titulaire de la chaire d'excellence de la région Normandie.