Raphaël Beuzart-PlessisChargé de recherche CNRS

Le programme de Langlands consiste en un réseau de vastes et profondes conjectures reliant deux champs mathématiques a priori distincts que sont la théorie des nombres et la théorie des représentations. Au cœur de ce programme se trouve un principe fondamental de « fonctorialité », qui postule l'existence de relations profondes et mystérieuses entre les représentations automorphes de différents groupes, ainsi que des objets analytiques centraux appelés fonctions L automorphes. Récemment, un nouveau point de vue particulièrement prometteur sur ces notions est apparu sous le nom de programme de Langlands relatif. Celui-ci consiste essentiellement à remplacer les groupes par certains espaces homogènes et à considérer leurs spectres automorphes ou locaux.

Tout comme pour le programme de Langlands classique, les formules des traces sont un outil essentiel dans le cadre relatif à la fois pour démontrer certaines conjectures centrales du sujet mais aussi pour approfondir notre compréhension globale des principes sous-jacents. L'un des thèmes principaux de ce projet est précisément de contribuer à un niveau fondamental au développement de ces formules des traces et plus particulièrement : (1) D'étudier de façon systématique le développement spectral de certaines formules des traces simples notamment en présence d'un automorphisme extérieur (formule des traces tordue) (2) D'obtenir des formules des traces locales relatives dans un cadre très général pour les variétés sphériques en établissant de nouvelles connections originales avec la géométrie des fibrés cotangents. Ces résultats de grande portée nous permettrons aussi d'établir de nouveaux cas importants de correspondances/fonctorialités de Langlands relatives. Dans une direction légèrement différente, je prévois aussi d'étudier et de développer d'autres outils d'analyse harmonique dans le contexte relatif. Cela inclut certaines formules de Plancherel explicites ainsi qu'un type complétement nouveau de théorèmes de Paley-Wiener, avec des applications potentielles à certaines comparaisons de formules des traces globales et à la factorisation de périodes automorphes.