Les travaux d’Anne-Laure Dalibard, médaille de bronze 2018

Anne-Laure Dalibard est professeur à Sorbonne Université, membre du laboratoire Jacques Louis Lions. Après une thèse sous la direction de Pierre-Louis Lions à l’université Paris Dauphine soutenue en 2007, elle a été chargée de recherche au CNRS de 2008 à 2014. Elle a passé un an au Courant Institute of Mathematical Sciences (New-York) avant de devenir professeur.

Ses travaux de recherche s’organisent autour de quatre thèmes principaux :

• L’analyse asymptotique d’équations issues de l’océanographie à grande échelle ;
• L’obtention et l’utilisation de lois de paroi pour des fluides au voisinage de parois rugueuses ;
• L’étude des singularités et des instabilités dans les couches limites fluides ;
• Le comportement en temps long de solutions de lois de conservation scalaires visqueuses.

Le fil conducteur des travaux d’Anne Dalibard en lien avec l’océanographie est la construction et l’analyse de couches limites (formées près du fond, ou à la surface d’un fluide homogène et incompressible en forte rotation) dégénérées, correspondant à une situation où la taille caractéristique de la couche limite devient non bornée dans certaines régions de l’espace des phases (ce qui est en contradiction apparente avec la notion même de couche limite).

Le premier exemple où intervient ce type de dégénérescence est dans un travail en collaboration avec Laure Saint-Raymond [1]. Il s’agit d’un modèle dans lequel le forçage par le vent est résonnant, c’est-à-dire de même fréquence que la rotation. Dans ce cas il apparaît des couches limites de nature très différente de ce que l’on peut obtenir dans un cadre classique (non résonnant, comme étudié, parmi d’autres, par Masmoudi, ou Chemin-Desjardins-Gallagher Grenier) puisqu’elles sont autorisées à devenir non bornées. L’analyse consiste donc à construire des couches limites de tailles différentes dans les zones de dégénérescence. Cette construction nécessite de résoudre des difficultés techniques importantes (de raccord de couches par exemple). Ces couches ont en outre un effet déstabilisant du fluide à l’intérieur du domaine, ce qui est également un phénomène nouveau par rapport au cas classique.

Pour modéliser le vent de manière plus réaliste, Anne-Laure Dalibard a adapté ces techniques au cas où le forçage est aléatoire stationnaire, et non résonnant. Dans ce cas les fréquences de forçage ne sont plus discrètes. Là encore apparaissent des difficultés techniques supplémentaires. Elle a notamment obtenu des propriétés de moyennisation pour le système limite, dans le cas de tores non résonnants à la Babin-Mahalov-Nicolaenko [2].

Elle a ensuite étudié, toujours avec Laure Saint-Raymond, le cas d’une couche mince de fluide, forcée en surface, quand le vecteur de rotation est inhomogène (dans le cadre du modèle β-plan, [2]). Le but principal de cette analyse est la construction d’une solution stationnaire, et l’étude de sa stabilité. La difficulté là encore réside dans le fait que la couche limite dégénère, cette fois au voisinage de l’équateur, où le vecteur rotation s’annule. Cette couche limite concentre l’essentiel de l’énergie, bien plus que l’intérieur du fluide. L’article explique que c’est en fait inévitable si l’on veut expliquer la forme incurvée de la thermocline.

Enfin un dernier travail avec Laure Saint-Raymond concerne les couches limites verticales, le long des côtes. Un nouveau type de couche limite est mis en évidence, dépendant de la géométrie du domaine. En particulier cette couche limite peut pénétrer à l’intérieur du domaine. Cela justifie rigoureusement l’observation que les couches limites de Munk peuvent devenir infiniment grandes. En outre une dissymétrie entre les couches Est et Ouest apparaît, elle aussi bien connue des physiciens [4].

D’autres collaborations, notamment avec Christophe Prange [6] et David Gérard-Varet [11], sont venues enrichir ces résultats. Ces travaux concernent respectivement l’étude des opérateurs de Stokes-Coriolis et de Navier-Stokes-Coriolis dans un demi-espace bosselé. Ces modèles proviennent de manière très naturelle de l’étude asymptotique d’un fluide en rotation rapide près d’une paroi rugueuse. L’un des intérêts de ces travaux est que le fond n’a aucune propriété de structure particulière (périodicité, stationnarité…).

Lois de paroi pour des fluides au voisinage de parois rugueuses

Parallèlement à ses travaux liés à l’océanographie, Anne-Laure Dalibard s’est intéressée à la formation de couches limites et à l’homogénéisation près de bords rugueux. Cette question prend également sa source dans des problématiques concrètes de la physique, liées à la minimisation de la traînée de microfluides au voisinage de la paroi.

Dans une série d’articles, en collaboration principalement avec David Gérard-Varet [7] (également avec Matthieu Bonnivard [8] et Dorin Bucur [9]), elle décrit des couches limites, et cherche à construire des parois minimisant les pertes d’énergie. Cela l’a conduit en outre à s’intéresser à une jolie question d’optimisation de forme : avec David Gérard-Varet, elle a ainsi montré [10] que les seuls domaines réguliers et connexes minimisant l’énergie de Dirichlet pour le Laplacien fractionnaire en dimension deux, sont les disques. Ces travaux font appel à des méthodes d’analyse variées (dérivée de forme, hyperplans mobiles…).

Singularités et instabilités dans des couches limites fluides

Plus récemment, Anne-Laure Dalibard a étudié la formation de singularités dans les équations de Prandtl, bien connues pour être extrêmement difficiles à étudier mathématiquement. En particulier, avec Nader Masmoudi [14], elle a montré que la couche limite pouvait se décoller de la paroi en présence d’un gradient de pression adverse, et elle a justifié l’apparition de la singularité de Goldstein dans l’équation de Prandtl stationnaire.

En collaboration avec David Gérard-Varet, Helge Dietert et Frédéric Marbach [12], elle a récemment exhibé de nouvelles instabilités fluides pour un modèle de couche limite interactive.

Solutions en temps long de lois de conservation scalaires visqueuses.

Enfin la quatrième thématique de recherche d’Anne-Laure Dalibard concerne le comportement en temps long de lois de conservation scalaires, à la suite de ses travaux de thèse. Plus précisément, il s’agit d’étudier la stabilité en grand temps de solutions stationnaires. La nouveauté par rapport aux travaux antérieurs sur la question est que le flux est hétérogène, ce qui conduit à des difficultés techniques importantes : tout d’abord il n’y a pas de borne a priori simple sur la solution, et surtout il peut se produire des phénomènes d’homogénéisation en temps long. La démonstration du résultat principal de stabilité des solutions stationnaires [5] fait appel à des techniques inspirées de travaux de Osher-Ralston et de Blanchet-Dolbeault-Kowalczyk, auxquelles s’ajoutent des arguments d’homogénéisation. Une récente collaboration avec Moon-Jin Kan généralise cette étude au cas multidimensionnel [13].