Une nouvelle estimation a priori en dynamique des gaz

Un gaz en équilibre thermodynamique obéit aux équations d'Euler, qui gouvernent la densité $\rho(t,x)$, la vitesse $u$, la pression $p$ et l'énergie spécifique $e$.  La loi d'état relie $p$ à $\rho$ et $e$. Pour un gaz parfait $p=(\gamma-1)\rho e$ où $\gamma>1$ est constant. Les équations expriment les conservations de la masse, la quantité de mouvement et l'énergie :
$$
\partial_t\rho+{\rm div}_x (\rho u) =  0, $$
$$\partial_t(\rho u)+{\rm Div}_x (\rho u\otimes u)+\nabla_xp  =  0, $$
$$\partial_t(\frac12\rho|u|^2+\rho e)+{\rm div}_x \left((\frac12\rho|u|^2+\rho e+p) u\right) = 0.
$$

Si le gaz est bien localisé, la masse, l'impulsion et l'énergie totales
$$M=\int_{{\bf R}^3}\rho(t,x)\,dx,\qquad Q=\int_{{\bf R}^3}\rho u\,dx,\qquad E=\int_{{\bf R}^3}(\frac12\rho|u|^2+\rho e)\,dx$$
ne dépendent donc pas du temps. Une quatrième propriété découle de l'invariance Galiléenne :
$$\frac{dJ}{dt}=(5-3\gamma)t\int_{{\bf R}^3}\rho e\,dx,\qquad J:=\int_{{\bf R}^3}(\frac12\rho|tu-x|^2+t^2\rho e)\,dx.$$
Si $\gamma=\frac53$ (cas d'un gaz monoatomique, tel l'hélium, l'argon), $J(t)$
est  indépendant du temps. Pour l'air, $\gamma=\frac75$, et on a simplement $J(t)\le ct^{4/5}$.

La dernière information dont on dispose, qui traduit le second principe de la thermodynamique, est la décroissance de la néguentropie, ou entropie négative, quantité que l'on peut comprendre comme un facteur d'organisation du système
$$S(t)=\int_{{\bf R}^3}\rho((\gamma-1)\log\rho-\log e)\,dx\le S(0).$$

Hors de l'état d'équilibre, le gaz est décrit par une densité $f(t,x,v)$ où $v$ désigne la vitesse des particules. Son évolution est gouvernée par une équation cinétique
$$\partial_tf+(v\cdot\nabla_x)f=N[f(t,x,\cdot)].$$
L'opérateur $\partial_t+(v\cdot\nabla_x)$ est celui du transport libre. L'opérateur $N$, non-linéaire et non-local en $v$, décrit la manière dont les trajectoires sont modifiées lors des collisions. De son choix dépend le modèle : Boltzmann, BGK ou Broadwell. Tous  ont en commun de conserver, eux aussi, les quantités fondamentales : les moments
$$\rho=\int_{{\bf R}^3}f\,dv,\quad m=\int_{{\bf R}^3}fv\,dv,\quad S=\int_{{\bf R}^3}fv\otimes v\,dv,\quad\varepsilon=\int_{{\bf }R^3}f\frac{|v|^2}2\,dv,\quad r=\int_{{\bf R}^3}f\frac{|v|^2}2v\,dv.$$
satisfont formellement,
$$\partial_t\rho+{\rm div}_x q =0,\qquad
\partial_tm+{\rm Div}_x S =0,\qquad
\partial_t\varepsilon+{\rm div}_x r =0.$$
La masse, l'impulsion et l'énergie totales sont donc constantes au cours du temps, sous des hypotèses raisonnables. L'expression
$$J=\int_{{\bf R}^3}(t^2\epsilon-tm\cdot x+\frac{|x|^2}2\rho)\,dx$$
est elle aussi conservée. Le {théorème H} de Boltzmann donne la décroissance de la néguentropie.

À ces estimations universelles, Denis Serre vient d'en ajouter une nouvelle, comme annoncé dans l'article [6]. Pour un gaz  à l'équilibre, cette estimation s'écrit
$$\int_0^{+\infty}dt\int_{{\bf R}^3}\rho^{1/3}p\,dx\le\sqrt{\frac23}\,\pi^{-2/3}\, M^{1/3}\sqrt{ME-|Q|^2}\,.$$
Remarquons l'intégrale en espace {{et}} en temps, qui fait penser aux inégalités de Strichartz satisfaites par les équations dispersives. En outre le facteur supplémentaire $\rho^{1/3}$ renforce l'intégrabilité, par comparaison avec les estimations de la masse ou l'énergie.

Dans le cas cinétique, l'intégrande $\rho^{1/3}p$ est remplacée par l'expression qui peut paraître étrange
$$\left(\int^{\otimes4}_{{\bf R}^3}f(v_0)f(v_1)f(v_2)f(v_3)({\rm vol}\,\Sigma(v_0,v_1,v_2,v_3))^2dv_0\,dv_1\,dv_2\,dv_3\right)^{1/3},$$
où $\Sigma$ désigne le tétraèdre de sommets $v_0,v_1,v_2,v_3$. On observe encore un gain d'intégrabilité, la quantité étant homogène de degré $\frac43$ en $f$ (la masse et l'énergie étant, elles, linéaires).

Ces deux estimations ont un analogue en toute dimension $n\ge1$. L'exposant $1/3$ devient $1/n$ et le tétraèdre un simplexe de ${\bf R}^n$. L'estimation cinétique était connue pour $n=1$ par J.-M. Bony [1], pour des modèles à vitesses discrètes. Elle avait servi à C. Cercignani [2] pour montrer que la théorie de R. DiPerna & P.-L. Lions [3] donne bien des solutions au sens des distributions de l'équation de Boltzmann. Il ne semble pas que cette idée fonctionne en dimension $d\ge2$.

La preuve est basée sur l'observation que les lois de conservation de la masse et de la quantité de mouvement s'écrivent sous la forme ${\rm Div}_{t,x}T=0$, où $T$ est un tenseur à valeurs symétriques positives, de taille $d=n+1$. Dans ce cadre abstrait, on prouve l'inégalité de type {quasi-concavité}
$$\int_\Omega(\det T)^{\frac1{d-1}}dx\,dt\le\frac1{d|S^{d-1}|^\frac1{d-1}}\left(\int_{\partial\Omega}|T\vec n|\,ds\right)^{\frac d{d-1}},$$
où $\Omega$ est convexe, $\vec n$ étant la normale unitaire au bord. On procède par dualité avec l'équation de Monge-Ampère et on utilise des résultats de la théorie du transport optimal ([7] et [5]). Cette inégalité contient en outre l'inégalité isopérimétrique ou l'inégalité de Gagliardo [4]}. Enfin, il faut noter qu'une version périodique intervient en homogénéisation elliptique.